problem solving and creativity

PROBLEM SOLVING and CREATIVITY
( Pemecahan Masalah dan Kreatifitas )



A. PENDAHULUAN
Pemecahan masalah merupakan bagian dari kurikulum matematika yang sangat penting karena dalam proses pembelajaran maupun penyelesaian, siswa dimungkinkan memperoleh pengalaman menggunakan pengetahuan serta keterampilan yang sudah dimiliki untuk diterapkan pada pemecahan masalah yang bersifat tidak rutin. Melalui kegiatan ini aspek-aspek kemampuan matematika penting seperti penerapan aturan pada masalah tidak rutin, penemuan pola, penggeneralisasian, komunikasi matematika, dan lain-lain dapat dikembangkan secara lebih baik. Namun demikian, kenyataan di lapangan menunjukkan bahwa kegiatan pemecahan masalah dalam proses pembelajaran matematika belum dijadikan sebagai kegiatan utama. Padahal di negara-negara maju seperti Amerika Serikat dan Jepang kegiatan tersebut dapat dikatakan merupakan inti dari kegiatan pembelajaran matematika sekolah.
Masalah timbul jika ada kesenjangan antara kenyataan dan harapan (Martin, 1994:331). Masalah adalah suatu situasi dimana ada sesuatu yang diinginkan tetapi belum diketahui mendapatkannya (Stepelmen, 202:96). Sesuatu merupakan masalah bagi seseorang apabila sesuatu itu baru dan sesuai dengan kondisi yang memecahkan masalah, dan kondisi yang memecahkan masalah memiliki pengetahuan prasyarat (Ruseffendi, 1991:169).
Persoalan menjadi masalah bagi seseorang apabila orang tersebut 1) mampu menyelesaikan tetapi tidak menggunakan cara atau algoritma yang rutin, 2) mempunyai siapan untuk menyelesaikan (mental, pengetahuan), 3) ada niat untuk menyelesaikan (Ruseffendi, 1991: 336)

B. PERMASALAHAN
Bagaimana mengeksplorasi Psikologi Kognitif :
1. Apakah kognisi sebagai proses mental atau pikiran merupakan suatu yang sangat mendasar bagi studi psikologi manusia ?

2. Apakah pandangan psikologi kognitif mempengaruhi bidang-bidang lain ?
3. Apakah melalui prinsip-prinsip kognisi seseorang dapat memproses informasi secara efisien ?

C. URAIAN MATERI DAN PEMBAHASAN
Dari Gb. 11.1 (hal.392) : Bayangkan, anda adalah seseorang yang berdiri di tengah ruangan dimana ada dua tali menjuntai langit-langit. Tujuan orang tersebut akan mengikat kedua tali tersebut, namun keduaanya tak cukup panjang untuk ditarik sekaligus. Lalu bagaimana anda bisa mengikat kedua tali tersebut ?
Fokus dari bab ini adalah pemecahan masalah yang dilakukan secara individual. Hal ini lebih sulit dilakukan daripada secara kelompok.
1. Lingkaran Langkah-Langkah Pemecahan Masalah
Kita membutuhkan suatu cara untuk mengatasi rintangan-rintangan atau untuk mencapai suatu tujuan. Apabila kita dapat dengan cepat menemukan caranya, tidak masalah. Tetapi bagaimana jika tidak ? Maka berikut adalah lingkaran langkah-langkah pemecahan masalah :


Namun demikian, langkah-langkah yang kita tempuh dapat fleksibel tergantung besar kecilnya masalah. Kita dapat mengatur urutan sendiri langkah-langkahnya, melewati salah satu, atau bahkan menambahkan jika perlu. Yang terpenting, kenali masalahnya.
Kita harus ingat bahwa emosi dapat mempengaruhi cara bagaimana kita mengimplementasikan lingkaran langkah-langkah pemecahan masalah. (Schwarz & Skutnik, 2003). Misal dalam hal penulisan makalah:
1. Identifikasi masalah: Jika akan menulis makalah, tentukan dulu makalah tersebut untuk hal apa.
2. Definisi masalah dan representasi: Tentukan apa topik untuk makalah tersebut, sehingga dapat pula menentukan penelitian-penelitian apa yang akan dilakukan.
3. Penyusunan strategi: Dalam penulisan makalah, harus melalui tahap-tahap analisa, riset dan kemudian kesimpulan yang dituliskan dalam bentuk draft.
4. Pengorganisasian informasi: Tahap ini adalah tahap yang kritis. Kadang-kadang orang gagal bukan karena tidak dapat mengatasinya, melainkan karena tidak dapat mengorganisasikannya. Maka dalam penulisan makalahpun, ide-ide haruslah diorganisasi dalam outline.
5. Alokasi sumber: Dalam menulis waktu banyak dihabiskan untuk melakukan riset, mencatat, dan membuat rencana. Maka hal ini harus dilakukan secara efektif dan efisien sehingga terhindar dari frustrasi.
6. Monitoring: Jika sedang menulis makalah, kita memonitor apakah kita membuat kemajuan atau tidak. Kalau tidak, cari sebabnya.
7. Evaluasi: Setelah pembuatan draft, evaluasi. Mungkin kita ingin memperbaiki atau mengedit sebelum menyerahkannya. Melalui evaluasi sering terjadi peningkatan, karena dengan evaluasi tersebut akan ditemukan masalah. Masalah yang didapati akan didefinisikan kembali, sehingga ditemukan strategi baru yang lebih baik. Maka dengan demikian, lingkaran langkah-langkah pemecahan masalah di atas menjadi lengkap apabila mengarah kepada wawasan baru.
2. Tipe-tipe Masalah / Problem
Problem atau masalah dapat dikategorikan menurut apakah ia mempunyai jalan keluar atau tidak. Suatu misal “Bagaimana kita bisa menemukan Luas suatu jajargenjang ?” Contoh yang lain “Bagaimana kita bisa menyatukan 2 tali yang tergantung dimana tak satupun cukup panjang untuk diraih ?” Berikut akan kita bicarakan jenis-jenis masalah.
• Masalah yang Tersusun Baik
Dalam suatu tes di sekolah, guru memintamu menyelesaikan soal yang tersusun baik namun banyak sekali, dalam suatu bidang tertentu. Problem seperti ini menuntut serangkaian tindakan untuk memecahkannya.
Dalam Psikologi kognitif, tindakan ini melibatkan 2 tokoh antagonis, yaitu “hobbit (orang suci)” dan “orc (orang dosa / kanibal), seperti ilustrasi di berikut ini.
Investigasi Psikologi Kognitif :
Ada 3 hobbit dan 3 orc akan menyeberangi sungai dan hanya ada sebuah perahu dayung cukup untuk 2 orang saja. Timbul suatu masalah, jika jumlah orc di kedua tepi sungai di sini dan di sana melebihi jumlah hobbit, maka orc akan memakan hobbit. Bagaimana agar ke-6 makhluk tersebut dapat sampai di seberang dengan selamat dan utuh ? Cobalah pecahkan masalah ini sebelum terus membaca. ( Solusi ada di Gb.11.3 hal.399 ).
Salah satu cara mempelajari bagaimana memecahkan masalah adalah dengan simulasi komputer. Banyak sub-sub program yang berupa algoritma, yaitu serangkaian cara yang diulang-ulang terus, sehingga ditemukan solusi. Tak seperti komputer, otak manusia tidak bisa dengan kecepatan tinggi mampu menghitung banyak sekali kombinasi.
Ketika orang dihadapkan pada masalah dimana ia tidak tahu jawabannya, seseorang yang efektif akan menggunakan ‘heuristic of means- ends analysis’. Dalam strategi ini ia akan terus-menerus membandingkan keadaan sekarang dan apa tujuannya, lalu mengambil satu langkah untuk meminimalisasi perbedaan dari keduanya.
• Problem Isomorfis
Dua problem isomorfis, artinya struktur formalnya sama dan hanya isinya yang berbeda. Kadang-kadang ada kasus yang sama, seperti misalnya kasus hobbit dan orc sama dengan kasus misionaris dan kanibal dimana kanibal memakan misionaris jika jumlah mereka lebih besar. Maka anda bisa membuat game-game lain, misalnya menyusun kata dari huruf-huruf yang bercampur aduk. Cara-cara memecahkan masalah seperti dalam gambar 11.6 ( Permainan ‘Menara Hanoi’ ) dan 11.7 ( Menggabungkan 2 tali yang tergantung ). Sayangnya, kita sering salah dalam mendefinisikan masalah, seperti dalam kasus dua tali tadi.
• Problem yang Tersusun ‘sakit’ dan Peran Wawasan
Masalah 2 tali di atas merupakan suatu problem yang tersusun ‘sakit’. Meskipun kadang-kadang salah menginterpretasikan problem yang tersusun baik, kita lebih sering menemui kesulitan yang merupakan ‘ill-structured problem’. Berikut contoh-contoh masalah, cobalah ketiga problem ini sebelum membaca solusinya.
1. .....Supervisor hanya butuh satu orang, tidak boleh tolong menolong. Apa yang harus dilakukan Harry ?
2. Seorang wanita yang tinggal di sebuah kota kecil menikahi 20 laki-laki yang berbeda di kota yang sama. Semuanya masih hidup, dan ia tidak pernah bercerai. Anehnya ia tidak melanggar hukum. Bagaimana ini bisa ia lakukan ?
3. Anda kehilangan kaos kaki hitam dan coklat di laci, dicampur dalam satu rasio dari 5 kaos kaki hitam untuk masing-masing kaos kaki coklat. Berapa banyak kaos kaki yang harus anda keluarkan dari laci itu untuk mendapatkan sepasang kaos kaki dengan warna yang sama ?
Ketiga ‘ill-constructed problem’ ini diberi istilah problem wawasan. Untuk memecahkan setiap masalah anda menengok masalah dalam cara novel. Secara khusus, wawasan adalah kemampuan atau strategi yang khas dan tampak tiba-tiba yang dapat membantu memecahkan masalah.
Untuk bisa memahami pemecahan masalah berwawasan, mungkin anda menganggap perlu mengetahui solusi dari problem-problem sebelumnya sebagai wawasan. Mengenai masalah rak topi, Harry mampu memecahkan masalah. Untuk memecahkan masalah itu Sally harus mendefinisi ulang pandangannya mengenai material-material yang ada sehingga memudahkannya menyusun C-clamp sebagai tempat menggantungkan topi.
Perempuan yang menikah dengan banyak lelaki itu adalah seorang menteri pernikahan, (married) di sini bukan arti sebenarnya. Jadi untuk memecahkan masalah, anda harus mendefinisi ulang interpretasi dari istilah ‘menikah’(married).
Demikian pula masalah kaos kaki, anda hanya perlu mengeluarkan 3 kaos kaki agar mendapat sepasang kaos kaki dengan warna yang sama. Formasi rasionya tidak relevan. Apakah 2 kaos kaki yang anda ambil cocok warnanya, yang ke 3 pasti cocok paling tidak dengan salah satu dari 2 pertama.
Pandangan Gestaltist Awal
Psikolog Gestalt menekankan pentingnya keseluruhan. Dalam hal pemecahan masalah, psikolog Gestalt memandang bahwa problem wawasan pelakunya memandang masalah sebagai keseluruhan.
Pandangan Tak Ada yang Istimewa
Menurut pandangan tak ada yang istimewa, wawasan semata-mata merupakan perluasan dari keadaan merasa, mengenali, mempelajari, dan menyusun. Pada saat yang lain orang menunjukkan penyusunan kembali mental (pikiran) yang disebut masalah rutin. Wawasan merupakan hasil / signifikan semata dari proses berpikir biasa.
Pandangan Neo-Gestaltist
Pemecahan masalah berdasarkan wawasan dibagi 2. Jika diberi masalah rutin, seorang akan menunjukkan ketelitian yang luar biasa. Sedangkan seorang yang lain, sebaliknya, menunjukkan ketidakmampuannya. Gambar 11.11 (hal.410) menunjukkan perbedaan perasaan peserta dalam menyelesaikan problem aljabar.
Pandangan Tiga Proses
Menurut pandangan ini, ada 3 macam wawasan. Ketiganya berhubungan dengan 3 proses berbeda. Yaitu: penguraian, pembandingan, dan penggabungan yang selektif. Penguraian yang selektif adalah proses dilakukannya filtering. Misalnya, ketika mengikuti kuliah kita harus menguraikan yang penting saja dan mencatatnya.
Penggunaan analogi adalah bentuk dari perbandingan selektif. Kita perlu membandingkan informasi dengan pengetahuan kita yang baru mengenai problem-problem baru. Perbandingan selektif merupakan dasar untuk menghubungkan hal-hal seperti itu, misalnya kemampuan untuk membandingkan istilah-istilah baru dengan sinonim dari kata-kata yang telah diketahui. Contoh dari penggabungan selektif adalah misalnya, tidakkah cukup jika hanya mampu mengidentifikasi informasi-informasi yang penting secara analistis, tetapi kita juga perlu mengetahui bagaimana menyatukan informasi. Seperti halnya rak topi dan dua tali.
Wawasan ke Wawasan Tambahan
Wawasan bukanlah seperti pengalaman “ah-ha”, ia terjadi secara perlahan melalui proses dan selalu bertambah dari waktu ke waktu.

3. Rintangan dan Bantuan untuk Pemecahan Masalah
Berbagai faktor yang dapat menghalangi pemecahan masalah.
• Kondisi / kesiapan mental, Pertahanan, dan Pendapat (fiksasi)
Salah satu faktor yang dapat merintangi pemecahan masalah adalh kondisi mental, yaitu suatu kesiapan mental yang melibatkan model yang sudah ada untuk mempresentasikan masalah, konteks masalah, prosedur untuk pemecahan masalah. Sebagai contoh, dalam masalah 2 tali, anda harus ber-fiksasi bahwa andalah yang harus mendekat ke tali, bukan mendekatkan tali kepada anda.
Kondisi mental juga dapat mempengaruhi solusi masalah rutin. Sebagai contoh, problem “kendi air”. Dalam problem kendi air tersebut, partisipan diminta mengukursejumlah air dengan menggunakan kendi-kendi berbeda. Setiap kendi menampung jumlah air yang berbeda (lihat tabel 11.2)
• Transfer Negatif dan Positif
Sering, orang dalam kondisi mental tertentu mendorongnya merasakan satu aspek masalah. Transfer adalah memindahkan pengetahuan atau ketrampilan dari situasi masalah yang satu ke yang lain. Transfer bisa negatif atau positif.
Transfer negatif terjadi ketika pemecahan masalah sebelumnya pemecahan masalah berikutnya lebih sulit. Transfer positif terjadi ketika solusi dari masalah awal membuatnya lebih mudahmemecahkan masalah baru. Maka, kadang-kadang transfer rangkaian pikiran bisa menjadi bantuan bagi pemecahan masalah.
Menginvestigasi Psikologi Kognitif:
Bayangkan anda seorang dokter yang sedang menangani pasien dengan tumor ganas. Bila tumor tidak dihilangkan, pasien akan mati. X-ray dengan intensitas tinggi bisa digunakan untuk membunuh tumor. Masalahnya X-ray dengan intensitas tinggi juga bisa merusak jaringan. Jadi, kini masalahnya adalah menentukan prosedur untuk menghilangkan tumor dengan tidak merusak jaringan pula.
Dalam Lab Dedre Gentner:
Dedre Gentner adalah seorang profesor psikologi di Universitas Northwestern. Ia sangat dikenal dengan karya analogi dan persamaan. Teorinya yang terkenal adalah teori pemetaan struktur. Penelitiannya menunjukkan bahwa membandingkan selama mempelajari sesuatu bisa meningkatkan kemampuan mentransfer pengetahuan ke dalam konteks baru.
Ia bisa menerapkan teori pemetaan struktur itu pada kesamaan biasa, dengan hasil yang mengejutkan. Sebagai contoh, orang akan dengan cepat membedakan pasangan yang serumpun, misalnya hotel / motel, daripada yang sama sekali berbeda seperti misalnya traffic light / shopping mall.
Untuk meningkatkan kemampuan belajar, kita harus mencari cara untuk membuat memori kita lebih efektif, seperti misalnya dengan menggunakan analogi.
Dalam penelitiannya mengenai perkembangan kognitif, Gentner menunjukkan bahwa ada perubahan relasional dari satu fokus kesamaan obyek ke yang lainnya sebagaimana anak-anak mempelajari lebih banyak bidang pengetahuan. Misalnya, diminta menjelaskan suatu metamor “Awan seperti Sepon”, seorang anak usia 5 tahun mengatakan bahwa keduanya bundardan halus, sementara anak usia 9 tahun menjawab bahwa keduanya mengandung air dan bisa mengeluarkan air.
• Transfer Analogi
Banyak studi mengenai transfer positif yang melibatkan analogi, salah satu contoh adalah “masalah radiasi” seperti di bawah ini:
Seorang jendral hendak mengepung benteng. Ada banyak jalan. Namun jalan-jalan itu dipasangi ranjau. Meskipun sekelompok kecil orang-orangnya bisa melewati jalan-jalan itu dengan selamat, ranjau-ranjau itu akan diledakkan. Maka dari itu, langsung menyerang jelas tidak mungkin. Apa yang harus dilakukan jendral itu ?
Duncker mempunyai solusi berwawasan khusus sebagai solusi dari masalah ini, terdapat dalam gambar 11.12.
Kembali ke masalah radiasi, masalah ini disebut “masalah militer”. Tabel 11.13 menunjukkan hubungan antara masalah radiasi dan militer. Ini dianggap berhubungan meskipun tidak dapat.
Kadang-kadang orang tidak mengenali kesamaan permukaan masalah. Lain ketika mereka terkecoh oleh kesamaan permukaan sehingga yakin bahwa kedua masalah tersebut sama. Yang terbaik adalah tidak cepar-cepat mengasumsikan bahwa 2 masalah yang tampaknya sama adalah pentingnya.
• Transfer yang disengaja: Menyelidiki Analogi
Dalam mencari analogi, kita harus hati-hati jangan sampai terjebak oleh hubungan antara 2 benda yang tidak relevan secara analogis. Sebagai contoh, penelitian tentang solusi anak-anak dalam analogi verbal “A untuk B sedangkan C untuk X ”. Mereka diberi option pilihan ganda untuk jawaban X. Maka rata-rata mereka memilih jawaban yang mempunyai hubungan erat tetapi secara analogis salah. Problem disajikan dengan [:] artinya ‘untuk’, [: :] artinya ‘sedangkan’, misalnya: Lawyer : client : : Doctor : (a.Nurse, b.Patient, c.Medicare, d.MD ). Anak-anak mungkin memilih option a karena Nurse lebih kuat diasosiasikan dengan Doctor daripada jawaban yang yang benar: Patient.
• Inkubasi
Dalam memecahkan banyak masalah, rintangan utama bukanlah kebutuhan mencari strategi yang cocok untuk transfer positif, melainkan menghindari rintangan yang menghasilkan transfer negatif. Inkubasi mengesampingkan masalah untuk sementara waktu tanpa memikirkannya secara sadar menawarkan satu cara yang meminimasikan transfer negatif. Diam sejenak dari masalah pemecahan problem.
Beberapa kemungkinan mekanisme yang berefek menguntungkan dari inkubasi antara lain:
1. Ketika kita tidak lagi menyimpan sesuatu dalam memori aktif, kita tinggalkan saja segala sesuatu yang tidak penting. Kita menyimpan aspek-aspek yang lebih penting saja.
2. Sementara waktu berlalu, memori-memori yang baru menjadi lebih terintegrasi dengan memori-memori yang sudah ada.
3. Sementara waktu berlalu, rangsangan baru baik internal maupun eksternal bisa mengaktifkan perspektif baru terhadap suatu masalah.
4. Rangsangan internal atau eksternal mengarahkan seseorang untuk melihat analogi antara masalah baru dan masalah lainnya, sehingga lebih mudah ditemukan solusinya.
5. Saat seseorang sedang dalam keadaan, misal sedang mandi, di tempat tidur, atau jalan-jalan, mungkin perhatiannya mulai kembali ke hal-hal yang sudah lalu dan menyatu lagi bersama-sama dalam ingatan.
Ada 2 manfaat dari inkubasi, 1) memberi waktu pada masalah awal, 2) memberi waktu yang cukup untuk memikirkan sesuatu yang ditimbulkan oleh transfer negatif .
Aplikasi praktis dari psikologi kognitif:
Jika diberi tugas membuat paper, buatlah outline. Cari topik yang menarik. Pemilihan topik yang tidak begitu familier adalah ide yang bagus, karena anda bisa belajar sesuatu yang baru.
Keahlian: Pengetahuan dan Pemecahan Masalah
Bahkan orang yang yang tidak mempunyai keahlian dalam psikologi kognitif mengenali bahwa pengetahuan membantu banyak dalam memecahkan masalah.
Organisasi Pengetahuan.
Dalam suatu penelitian tentang permainan catur antara yang sudah ahli dan orang baru, pada umumnya seorang yang ahli bermain lebih baik. Tetapi mereka bermain lebih baik jika hanya posisi anak-anak catur disusun dengan benar. Jika diletakkan secara acak, yang ahli tadi tidak bisa mengingat posisi dari anak-anak catur sebaik orang baru.
Penjabaran Pengetahuan
Apa yang membedakan ahli dan orang baru adalah jumlah, organisasi, dan kegunaan pengetahuan. Ada 2 tugas, acak dan teratur (bermakna). Seorang yang ahli terbiasa dengan sesuatu yang teratur dan bermakna, jadi memorinya terorganisir. Ketika ia melihat posisi catur yang tersusun baik, pengetahuan dalam memorinya akan membantu.
Bila posisi catur acak, pengetahuannya tidak akan berguna. Maka dari itu, orang dapat mengingat segala sesuatu dengan lebih baik dan memecahkan masalah dengan dengan apa yang yang mereka ingat dengan baik pula, jika mereka mempunyai dasar pengetahuan yang solid.
Mengatur Masalah
Ada perbedaan lain lagi antara ahli dan orang baru. Ahli menghabiskan waktu secara proporsional lebih banyak untuk menentukan bagaimana menjelaskan suatu masalah dibandingkan dengan orang baru.
Tetapi ia memerlukan waktu lebih sedikit untuk mengimplementasikan strategi pemecahan.
Maka dari itu, orang yang ahli tidak hanya mempunyai pengetahuan lebih banyak tetapi juga mempunyai pengetahuan yang terorganisir dengan baik.
Proses Ahli secara Otomatis
Dalam menerapkan strategi, ahli melakukan banyak hal secara otomatis. Contoh bagaimana meningkatkan kinerja dapat dilihat dalam penelitian mengenai kemampuan membaca.
Membaca melibatkan 2 proses berbeda (Wagner & Stanovich, 1996):
1. Merupakan proses percakapan dari lambang ortografi (penampilan huruf-huruf) dengan lambang phonology (bunyi bahasa)
2. Proses pengenalan kata berbasis phonology
Namun demikian, otomatisasi ahli ternyata bisa menghambat pemecahan masalah. Ini bisa terjadi ketika ahli mengatasi masalah yang berbeda secara terstruktur dari masalah yang biasa mereka hadapi. Pada awalnya, orang baru bisa tampil lebih baik daripada ahli jika masalahnya secara struktur berbeda dari yang seharusnya.
Bakat Bawaan dan Keterampilan yang Dibutuhkan
Meskipun banyak dijabarkan, dasar pengetahuan adalah penting menguasai suatu ilmu, tetap ada perbedaan dalam kinerja yang tidak dapat dijelaskan dengan istilah.
Ahli dalam beberapa hal menunjukkan kelebihan yang super. Misalnya seorang yang ahli mengetik jarinya sangat terampil, sehingga dapat mengetik lebih cepat daripada yang baru. Pada dasarnya kecepatan dalam mengetik adalah seberapa jauh kata dalam teks yang dilihat pengetik ketika sedang mengetik. Semakin jauh ia melihat semakin baik kemampuan jari-jarinya dalam posisi yang diperlukan. Demikian pula halnya bagi seorang musisi maupun olahragawan.
Ciri lain dari seorang ahli adalah bahwa mereka cenderung menggunakan pendekatan yang lebih sistematik untuk masalah-masalah yang sulit dibandingkan dengan orang baru.
Pada dasarnya banyak masalah dapat diselesaikan hanya dengan mencari dan menemukan strategi untuk menjawab pertanyaan yang kompleks.
Apa Ciri-Ciri Ahli ?
Meskipun banyak aspek untuk menjadi ahli sudah diselidiki, beberapa ciri ahli sudah ditemukan, antara lain:
1. Mempunyai pengetahuan yang terorganisasi dengan baik, begitu juga Ilmu-Ilmu yang lain.
2. Mempunyai skema pengetahuan yang luas tentang suatu ilmu.
3. Tidak terburu-buru dalam menghadapi masalah.







Kreatifitas
Bagaimana kita bisa mendefinisikan kreatifitas sebagai suatu konsep yang menyatukan karya Leonardo da Vinci and Marie Curie, Vincent Van Gogh and Isaac Newton, Toni Morrison and Albert Einstein ? Yang didapat hanyalah definisi yang sempit. Gb.11.14 (Hal.429)
Apa yang anda hasilkan ?
Apakah individu yang kreatif menghasilkan lebih banyak? Individu yang kreatif mempunyai beberapa ciri. Para psikolog mendeteksi hal ini. Kreatifitas adalah refleksi dari kemampuan menciptakan lebih.
Misalnya, individu-individu yang kreatif sering mendapat nilai tinggi dalam test kreatifitas. Sebagai contoh, Torrence Test yang mengukur perbedaan, keanekaragaman, dan ketepatan merespon pertanyaan terbuka. Test ini juga mengukur respon kreatif mengenai angka.

Ini Yang Anda Tahu
Apakah orang yang kreatif lebih pintar dari yang lain ? Para peneliti yakin bahwa yang secara jelas membedakan individu kreatif dari mereka yang kurang kreatif adalah keahlian dan komitmen pada kerja keras mereka.
Orang yang kreatif bekerja lama dan keras. Mereka mempelajari pekerjaan pendahulu dari mereka dan pekerjaan orang-orang sebaya mereka. Maka mereka menjadi benar-benar ahli di bidang mereka. Sesungguhnya, kreatifitas berhubungan dengan usaha menjadi ahli.

PERESMIAN GEDUNG PUSAT IKIP PGRI SEMARANG

Implementasi Teori Belajar dalam pembelajaran matematika

Mata Kuliah : Teori Pembelajaran Matematika , Semester : Ganjil
Prodi : S2 Pendidikan Matematika Tanggal : 23/1/09
Pengampu :

Petunjuk :
a. Kerjakan soal – soal berikut pada lembar jawaban tersendiri.
b. Jawaban atau alasan jawaban saudara harus merujuk pada bahan bahan kuliah yang telah dikaji








Oleh :
Joko Sulianto
1002507031
Pendas Pendidikan Matematika


PROGRAM PASCA SARJANA UNNES
PENDIDIKAN DASAR MATEMATIKA
2009
1. Perubahan yang terjadi karena proses belajar memiliki ciri – ciri tertentu, antara lain bahwa perubahan yang terjadi karena belajar bukan bersifat sementara. Jelaskan apa maksudnya!
Sebelum menjawab pertanyaan diatas ada baiknya kita tinjau pengertian belajar berikut :
a. belajar terjadi apabila suatu situasi stimulus bersama dengan isi ingatan mempengaruhi pelajar sedemikian rupa sehingga perbuatannya berubah dari waktu sebelum ia mengalami situasi itu ke waktu sesudah ia mengalami situasi tadi. (gagne: The Condition of Learning, 1997).
b. Belajar adalah sikap perubahan yang relatif menetap dalam tingkah laku yang terjadi sebagai suatu hasil dari latihan atau pengalaman (Morgan: Introduction of Pshychology, 1978).
Dari kedua pengertian belajar diatas dapat ditemukan adanya dua elemen penting, yaitu sebagai berikut :
a. Belajar merupakan suatu perubahan tingkah laku yang dapat mengarah ke tingkah laku yang lebih baik atau lebih buruk perubahan yang terjadi disini berdasarkan latihan atau pengalaman, artinya perubahan – perubahan yang melalui pertumbuhan atau kematangan tidak dianggap sebagai hasil belara.
b. Untuk dapat dianggap belajar maka perubahan itu harus relatif menetap, yaitu harus merupakan akhir dari sebuah periode waktu yang panjang, periode waktu itu dapat berlangsung berhari hari, berbulan –bulan, atau bertahun-tah8n. Hal ini mengesampingkan tingkahlaku yang disebabkan oleh motivasi, kelelahan, adaptasi, ketajaman perhatian atau kepekaan seseorang yang biasanya berlangsung sementara.
2. Banyak definisi terhadap pertanyaan " what is matematics?, diantaranya ada yang mendefinisikan" mathematics is power dan " mathematics is a tool". Apa makna dari kedua definisi tersebut? Apakah terdapat kaitan diantara dua definisi tersebut! Berikan alasan!
Mathematics is power, Ruseffendi ET (1980 : 148) mengemukakan bahwa matematika terbentuk sebagai hasil pemikiran manusia yang berhubungan dengan ide, proses, dan penalaran. Simbol ataau notasi dalam matematika mempunyai peranan penting dalam mengkomunikasikan ide-ide dalam membangun matemaiika. Terbentuknya suatu konsep matematika melalui proses berikut, adanya simbol-simbol dari ide-ide dengan mengkomunikasikan simbol-simbol akan membangun konsep-konsep matematika sebagai kekuatan. Kline (1973) dealam bukunya mengatakan matematika bukanlah pengetahuan yang menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan dan menguasai persoalan sosial, ekonomi dan alam. Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berpikir, dikatakan sebagai alat karena matematika dapat membantu mengembangkan ilmu yang lain memecahkan masalah kehidupan serta mengembangkan ilmu untuk dirinya sendiri dan dikkembangkan untuk kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi
3. Please! Analyse how various reserch methods in cognitive psychology reflect empiricist and rationalist approaches to gaining knowledge!
According to the rationalist, the only route to truch contemplation.
According to the empiricist, the only route to truch meticuolous, observation.
( Seorang rasionalis percaya bahwa cara untuk memperoleh pengetahuan adalah melalui analisis logis, sebaliknya penganut empiris percaya bahwa kita memperoleh pengetahuan melalui bukti-bukti empiris yang kita peroleh melalui pengamatan dan observasi.
4. Orton (1991), dalam buku Learning Mathematics: Issues, Theory and Clasroom Practice. Caseel, mengajukan pertanyaan" Is there a theory of mathematics learning?". Berilah jawaban beserta alasan saudara dalam menjawab pertanyaan Orton tersebut!
The Two major alternative theoritical approucehes which have been referred to in this book are the behaviorist and the cognitive. A behavioural approuch suggest the use of stimulus-response situation thruugh which connections are practised. But it is difficult to seee the underlying structure whitch is place-value could be graspeed in this way, and much might depend on the cuality of subsequent reflection by the child. A cognitive approuch suggest that children should be placed in a learning environment in which they might investigate, and perhaps discover, and in which understanding might be constructed through their own efforts.
5. Zevenbergen (2004) menyatakan bahwa " to be able to plan how to teach mathematics effectifelly, there needs to be some understanding of how students learns mathematics". Jelaskan apa maksudnya!
To be able to plan how to teach mathematics effectively, there needs to be some understanding of how students learn mathematics. A major UK review of effective teachers of numeracy (Akew et al, 1997) has shown that one of the key factors in developing hight quality practices and outcomes in numeracy learning is the role of theory. I think kids learn maths best when they sit quietly and do lost of practice examples. That way the also know if they are right or not.I think it is more about how they construct their own maining. They all have different exsperiences which impact on how they make sense of the tings we do. I think it is not about how i organizethe learning for them. Have i pitched just a bit above where they are think?
6. Tall (1991) mengajukan konsep "curriculum design in advenced mathematical learning". Menurut anda desain kurikulum tersebut seperti apa? jelaskan!

MERUNTUTKAN PENGALAMAN PEMBELAJARAN.
Selama perpindahan yang sukar dari matematika yang tidak begitu formal ke pemahaman proses matematika yang lebih formal, ada kebutuhan sejati untuk membantu siswa dalam menambah wawasan tentang apa yang sedang terjadi. Logika ahli matematika mungkin membuat dia gagal dalam merancang jadwal pengajaran. Seorang ahli matematika sering mengambil pemikiran matematika yang rumit dan “ menyederhanakannya dengan cara memecah menjadi bagian-bagian yang lebih kecil kemudian siap mengerjakan tiap komponen dengan runtutan yang logis

PEMECAHAN MASALAH
Untuk kebanyakan sarjana, pemecahan masalah berarti mempelajari isi dari satu set catatan perkuliahan dan mengaplikasikan pengetahuan ini kepada masalah yang khusus dengan jelas berhubungan dengan pengajaran utama. Untuk penelitian ahli matematika, pemecahan masalah adalah kegiatan yang lebih kreatif, yang memasukkan perumusan dari dugaan-dugaan yang mungkin, suatu runtutan dari aktivitas-aktivitas pengujian, memodifikasi dan pengilangan sampai memungkinkan untuk menghasilkan pembuktian yang formal dari dalil yang dispesifikasikan dengan baik.
PEMBUKTIAN Siswa-siswi yang memulai dalam matematika lebih lanjut mendapat kesulitan terbesar dalam pembuktian sebelum mereka mencapai kebiasaan dengan pekerjaan dari budaya matematis ini.
7. What cognitif demands are made in learning mathematics? And so " Can pupils discover mathematics for them selves?
Untuk mengawali suatu proses pembelajaran matematika yang mengutamakan aspek konstruktivisme di kela sesungguhnya guru sudah harus mempersiapkan tugas serta aktifitas belajar siswa dan mengantisipasi setiap respon dan pertanyaan yang mungkin dikemukakan siswa. Hal ini akan lebih terasa dan akan nampak jelas ketika terhadap konsep matematika yang kan diajarkan dikelas, proses pembelajaran diawali dengan menyajikan suatu situasi maslah yang bermakna bagi siswa, atau situasi yang kontektual bagi siswa.

8. Stemberg (2006) dalam buku Cognitive psychology didalam satu bab nya menulis topik dengan mengajukan beberapa pertanyaan antara lain(a) what are some key steeps involved in solving problem? (b) What are differences between problems that have a clear path to solution versus problems that to do not?(c) what are some of the obstacles and aids to problem solving? (d) How does expertise affect problem solving? Berilah jawaban dan alasan yang tepat untuk menjawab pertanyaan tersebut!
a. Untuk penelitian ahli matematika, pemecahan masalah adalah kegiatan yang lebih kreatif, yang memasukkan perumusan dari dugaan-dugaan yang mungkin, suatu runtutan dari aktivitas-aktivitas pengujian, memodifikasi dan pengilangan sampai memungkinkan untuk menghasilkan pembuktian yang formal dari dalil yang dispesifikasikan dengan baik.
Polya (1945) mengusulkan 4 tahap sebagai kerangka untuk pemecahan masalah:
 Pahami masalahnya
 Buat sebuah rencana
 Melaksanakan rencana itu
 Lihat kembali pekerjaannya
Kerangka ini telah menjadi tulang punggung dari banyak usaha-usaha berikutnya pada strategi perumusan masalah , pemikiran Mason et al (1982) dan Schoenfeld(1985) telah mengetahui kebutuhan pembuatan neuristik yang sebenarnya yang lebih tegas dan cepat untuk pelajar. Pemikiran dari “Buat sebuah rencana” benar-benar menakutkan (berat)untuk pemula. Lebih tegas lagi adalah versi yang diusulkan oleh Mason, yang mengajukan 3 tahap:
o Masuk
o Pecahkan
o Meninjau
Tahap Masuk menutupi 2 tahap pertama dari Polya,Sementara, Pecahkan dan Meninjau sesuai dengan tahap ketiga dan keempat Polya.
Pada tahap ‘Masuk’ potensi pemecah masalah -yang dikenal dengan konteks pemecahan masalah - mendapatkan pengertian dari masalah dengan memainkan pikiran-pikiran, yang mungkin lewat spesialisasi yang sederhana, pindah ke posisi dimana usaha-usaha untuk menetapkan dengan jelas apa yang diketahui dan diinginkan, dan mempertimbangkan dengan hati-hati apa yang dapat diperkenalkan (notasi, prosedur solusi,dll) yang mungkin menjadikan pemecah masalah dari apa yang diketahui menjadi apa yang diinginkan. Kemudian perubahan yang kualitatif terjadi dengan melakukan pemecahan terhadap masalah menggunakan pemikiran yang telah diperkenalkan.
• b. Problem yang Tersusun ‘sakit’ dan Peran Wawasan
Masalah 2 tali di atas merupakan suatu problem yang tersusun ‘sakit’. Meskipun kadang-kadang salah menginterpretasikan problem yang tersusun baik, kita lebih sering menemui kesulitan yang merupakan ‘ill-structured problem’. Berikut contoh-contoh masalah, cobalah ketiga problem ini sebelum membaca solusinya.
1. .....Supervisor hanya butuh satu orang, tidak boleh tolong menolong. Apa yang harus dilakukan Harry ?
2. Seorang wanita yang tinggal di sebuah kota kecil menikahi 20 laki-laki yang berbeda di kota yang sama. Semuanya masih hidup, dan ia tidak pernah bercerai. Anehnya ia tidak melanggar hukum. Bagaimana ini bisa ia lakukan ?
Anda kehilangan kaos kaki hitam dan coklat di laci, dicampur dalam satu rasio dari 5 kaos kaki hitam untuk masing-masing kaos kaki coklat. Berapa banyak kaos kaki yang harus anda keluarkan dari laci itu untuk mendapatkan sepasang kaos kaki dengan warna yang sama ?
c. Masalah paling serius terjadi ketika ide-ide baru tidak ditampung dengan memuaskan. Dalam hal ini, ada kemungkinan untuk ide-ide yang bertentangan untuk dihadirkan dalam seorang individu dengan segera dan dalam waktu yang sama.

Pengetahuan baru sering bertentangan dengan yang lama, dan belajar yang efektif membutuhkan stretegi-strategi untuk menghadapi konflik seperti itu. Kadang-kadang potongan yang bertentangan dari pengetahuan dapat didamaikan, kadang-kadang satu atau yang lain harus dibuang dan kadang-kadang keduanya dapat dijaga bila dengan aman dipertahankan dalam bagian yang terpisah.
d.

Filsafat matematika

PERAN LOGIKA DALAM PENGEMBANGAN ILMU
Aku datang - entah dari mana, aku ini - entah siapa, aku pergi - entah kemana, aku akan mati - entah kapan,aku heran bahwa aku gembira”.(Martinus dari Biberach,tokoh abad pertengahan).

Oleh Joko Sulianto, S.Pd
Dosen FPMIPA IKIP PGRI Semarang



1. Apakah Logika itu?
Banyak hal yang menyebabkan kita berpikir.
Pada suatu tengah malam saya mendengar telepon berdering. Telepon saya terima, dan kawan saya minta agar saya segera datang, di tengah malam itu juga. Saya yakin tentu ada sesuatu yang mendesak, serius. Kawan saya tidak mengatakannya, tetapi saya berpikir demikian. Saya menyimpulkan demikian.
Pengalaman mengatakan bahwa kita tidak hanya sering berpikir tetapi juga harus berpikir. Kita harus melihat jauh ke depan, kita harus membuat rencana. De facto membuat rencana, bahkan merupakan kewajiban dan keharusan bagi manusia, bagaimanapun keterbatasan rencana dan antisipasi manusia.
Dalam kegiatan berpikir sehari – hari kita secara spontan telah mengikuti hukum – hukum yang secara alamiah memerintah. Dan memang benar bahwa logika alami (natural, spontan, dengan naluri) tersebut telah mencukupi bagi kebutuhan kebutuhan dasar manusia.
Pengalaman juga mengatakan bahwa kita sering tersesat dalam berpikir. Memang, sesudah mengalami tersesat, kita dapat menganalisis kesesatan dan menemukan sebab – sebabnya kesesatan itu. Dan apabila kita bijaksana, kita akan menjaga diri kita agar tidak terperosok kedalam pemikiran sesat semacam itu, jangan sampai kesesatan yang sama terulang lagi di masa depan. Dalam arti inilah sesungguhnya pengalaman merupakan guru.
Barang siapa mempelajari berbagai jalan pikiran dengan cermat dan sistematis, akan segera menyadari bahwa banyak jalan pikiran yang tidak berkaitan, bahkan berlawanan asas, banyak kesimpulan yang salah, dan bahwa dalam kehidupan sehari hari, maupun dalam ilmu serta filsafat
Pikiran kita, demikian juga pembicaraan kita, seringkali sangat kuat ditentukan oleh rasa perasaan dan factor / motivasi irasional lainnya. Banyak rasionalitas ternyata hasil indroktinasi kemasyarakatan. Maka tanpa pelajaran , tanpa belajar logika scientifika kita akan banyak mendapati banyak kepincangan dalam proses berpikir proses penalaran.
Dengan menerapkan hukum – hukum pemikiran yang lurus, tepat dan sehat, kita dimasukkan kedalam lapangan logika, sebagai suatu kecakapan – kecakapan. Hal ini menyatakan bahwa logika bukanlah teori belaka. Logika juga merupakan ketrampilan untuk menerapkan hukum – hukum pemikiran dalam praktek.
Berpikir adalah obyek material logika, yang dimaksudkan berpikir disini ialah kegiatan pikiran, akal budi manusia. Dengan berpikir manusia mengolah, mengerjakan pengetahuan yang telah diperolehnya. Dengan mengolah dan mengerjakannya ia dapat memperoleh kebenaran. Pengolahan, pengerjaan itu terjadi dengan mempertimbangkan , menguraikan, membangdingkan serta menghubungkan pengertian yang satu dengan pengertian lainnya. Karena itu obyek material logika bukanlah bahan – bahan kimia atau salah satu bahasa, misalnya. Tetapi bukan sembarangan berpikir yang diselidiki dalam logika. Dalam logika berpikir dipandang dari sudut kelurusan, ketepatannya. Karena itu berpikir lurus dan tepat merupakan obyek material logika, kapan suatu pemikiran dianggap lurus? Suatu pemikiran disebut lurus, tepat apabila pemikiran itu sesuai dengan hukum – hukum serta aturan – aturan yang sudah ditetapkan dalam logika. Kalau peraturan peraturan itu ditepati, dapatlah berbagai kesalahan atau kesesatan dihindarkan. Dengan demikian kebenaran juga dapat diperoleh dengan lebih mudah dan lebih aman. Semua ini menunjukkan bahwa logika merupakan suatu pegangan atau pedoman untuk pemikiran.

1.1. Macam macam logika
Logika dapat dibedakan atas dua macam . namun keduanya tidak dapat dipisahkan satu sama lain. Kedua macam logika itu ialah logika kodratiah dan alamiah.
1.1.1 logika kodratiah
Akal budi dapat bekerja menurut hukum – hukum logika dengan cara yang spontan. Tetapi dalam hal – hal yang sulit baik akal budinya maupun seluruh diri manusia dapat dan nyatanya dipengaruhi oleh keinginan keinginan dan kecenderungan kecenderungan yang subyektif. Selain itu baik manusia sendiri maupun perkembangan pengetahuannya sangat terbatas
Hal – hal ini menyebabkan bahwa kesesatan tidak dapat dihindarkan. Namun dalam diri manusia sendiri juga terasa adanya kebutuhan untuk menghindarkan kesesatan itu diperlukan suatu ilmu khusus yang merumuskan azas azas yang harus ditepati dalam setiap pemikiran. Karena itu munculah
1.1.2 logika ilmiah
Logika ini membantu logika kodratiah. Logika ilmiah memperhalus, mempertajam pikiran serta akal budi. Berkat pertolongan logika ini dapatlah akal budi bekerja lebih cepat, lebih teliti, lebih mudah dan lebih aman. Dengan demikian kesesatan juga dapat dihindarkan atau paling tidak dikurangi.

1.2. Pembagian logika
1.2.1 Logika memang menyelidiki hukum – hukum pemikiran. Penyelidikan itu terjadi dengan menguraikan unsur – unsur pemikiran tersebut. Penguraian unsure unsure itu menunjukkan bahwa pemikiran manusia sebenarnya terdiri atas unsur unsur yang berikut. Unsure yang pertama ialah pengertian pengertian. Kemudian pengertian pengertian disusun sedemikian rupa sehingga menjadi keputusan keputusan. Akhirnya keputusan keputusan itu disusun sedemikian rupa sehingga menjadi penyimpulan penyimpulan
namun demikian pemikiran manusia bukanlah suatu kegiatan yang terjadi didalam batin saja. Pemikiran itu juga nampak dalam tanda tanda lahiriah. Berbicara merupakan tanda lahiriah dari pemikiran. karena itu kata kata adalah tanda tanda lahiriah pengertian pengertian, kalimat kalimat tanda lahiriah keputusan keputusan dan pembuktian pembuktian tanda tanda lahiriah penyimpulan penyimpulan.
Karena itu logika membicarakan baik pengertian pengertian, maupun kata kata, baik keputusan keputusan maupun kalimat kalimat, dan akirnya baik penyimpulan penyimpulan maupun pembuktian pembuktiannya.
1.2.2. ketiga unsur yang baru disebut ini merupakan tiga pokok kegiatan akal budi manusia. Ketiga pokoki kegiatan akal budi itu ialah :
a. menangkap sesuatu sebagaimana adanya. Artinya, menagkap sesuatu tanpa mengakui atau memungkirinya
b. memberikan keputusan. Artinya menghubungkan pengertian yang satu dengan pengertian lainnya atau memungkiri hubungan itu.
c. merundingkannya. Artinya, menghubungkan keputusan keputusan sedemikian rupa, sehingga dari satu keputusan atau lebih, orang sampai pada suatu kesimpulan.
Logika terutama menyentuh bagian yang akhir ini. Namun untuk sampai pada kesimpulan, lebih dahulu orang harus menyelidiki unsure unsure lainnya dan unsur unsur lainnya yang harus diselidiki lebih dahulu itu adalah pengertian pengertian dan keputusan keputusan.



BAB II
PEMBAHASAN

Logika membantu orang untuk berpikir lurus, tepat dan teratur. Dengan berpikir demikian ia dapat memperoleh kebenaran dan menghindari kesesatan. Dalam semua bidang kehidupan manusia menggunakan pikirannya. Ia juga mendasarkan tindakan tindakannya atas pemikiran itu. Semua ilmu pengetahuan hampir tidak dapat dilepaskan dari logika. Logika juga memperkenalkan analisa analisa yang dipakai dalam ilmu filsafat. Selain itu logika terutama memaksa serta mendorong orang untuk berpikir sendiri.

2.1. Kegunaan pelajaran logika
Tokoh filsuf, Aristoteles, terkenal sebagai bapak logika.tidaklah berarti bahwa sebelumnya tidak ada logika. Semua ilmuwan dan filsuf sebelum aristoteles telah mempergunakan logika dengan sebaik baiknya, karena tiap uraian ilmiah ialah berdasarkan logika. Logika tidak lain dari berpikir secara teratur, konsisten ( taat asas), setiap ada aturan yang tepat atau setia pada kausalitas. Jadi dalam berpikir kita selalu mempertautkan isi pikiran itu dalam hubungan yang tepat.
Aristoteles merupakan ilmuwan yang pertama kali memaparkan cara berpikir yang teratur itu serta suatu system, hukum hukum yang menguasai jalan pikiran manusia, dan bagaimanakah caranya pengetahuan yang benar itu. Itilah jasanya sebagai pembangun limu logika yang pada awalnya diberi nama analytica, dengan inti sari ajarannya adalah syllogisme, yang berarti suatu uraian berkunci. Dalam menarik kesimpulan dari kenyataan yang bersifat umum atas hal yang bersifat khusus. Dalam bahasa arab dipakai istilah natijah.
Dengan demikianlah kami dapat menyimpulkan beberapa kegunaan pelajaran logika, sebagai berikut :
a. Pelajaran logika menyatakan, menyelaraskan dan mempergunakan prinsip prinsip abstrak yang dapat diterapkan dalam semua lapangan ilmu pengetahuan lainnya, bahkan bagi pengetahuan filsafat merupakan ilmu yang harus dikuasai terlebih dulu.
b. Dapat menanbah daya / kemampuan berpikir abstrak manusia, dapat melatih dan mengembangkan daya pikir serta daya nalar manusia yang bermuara kepada tertib disiplin intelektual manusia.
c. Dapat membimbing daya pemikiran dan penalaran kita untuk tidak tersesat oleh sesuatu pola berpikir yang berdasarkan otoritas atau kekuasaan.
d. Dapat mengembangkan daya atau kemampuan berpikir logis dan kritis manusia yang sangat dibutuhkan terutama bagi ilmuwan dan calon ilmuwan (mahasiswa).
e. Dapat mengembangkan daya atau kemampuan imajunatif, kemampuan kreatif manusia dalam menghadapi fenomena ilmiah dan fenomena hidup dan kehidupan didunia ini.
f. Dapat mengembangkan daya intuitif manusia yang berdaya nalar dan berpikir kreatif dengan dukungan latar belakang potensial dan akademis yang baik.
g. Dapat meningkatkan daya problema solving manusia dalam setiap problema hidup yang dihadapinya.
h. Menurut Aristoteles, tugas utama pelajaran logika ialah mengakui hubungan yang tepat antara yang umum dan yang khusus. Karena itu keterangan keterangan ilmiah berarti menunjukkan prinsip dasar tentang berlakunya uraian yang hanya bersumber dari keterangan keterangan yang bersifat umum. Itulah pusat logika Aristoteles yang bersumber dari prinsip dasar berpikir dari sokkrates.
2.2 Peranan Logika bagi ilmu.
Secara histories, yakni menurut sejarahnya, yang pertama tama menjadi perhatian dan digarap para filsuf adalah problema tentang ada, disempitkan lagi : problema ontika. Tetapi kemudian disadari bahwasannya akan lebih sistematis apabila ditempuh prosedur yang sebaliknya. Sebab, barang siapa bermaksud menggarap tertib riel secara intelektual pasti harus menggunakan tertib idiel, yakni harus menggunakan proses tahu dan pengetahuan.
Pertimbangan selanjutnya supaya orang dapat bekerja lebih tertib, aman, dan berhasil karena orang tahu, lebih tahu, dan sadar akan alat yang dipergunakannya beserta mekanisme dan seluk beluknya. oleh karena itu, pulalah, logika scientifika dijadikan kebiasaan ditelaah sebelum orang mempelajari filsafat atau sebelum berfilsafat. Meskipun sesungguhnya secara pedagogis problema logika akan lebih baik demengerti bila orang telah cukup dalam memasuki liku liku dunia pemikiran filsafat, tlah cukup luas mempelajari sejarah filsafat serta liku liku berbagai ragam doktrin filsafatnya, dan telah intensif mengalami atau menghayati seluk beluk dan liku liku pemikiran umumnya.
Kepentingan peranan dan manfaat logika scientifika akan segera terasakan bagai mereka yang hendak menyempurnakan kesanggupan berpikir mereka sehari hari, khususnya bagi mereka yang hendak memasuki dan menggauli liku liku dunia ilmu.
Logika scientifika adalah kondisi dan tuntutan fundamental eksistensi ilmu. Tidak ada ilmu yang tidak menggunakkan atau tidak harus menempuh proses pemikiran, proses menalar, proses logika.
Justru semakin meningkat keterlibatannya dalam ilmu, semakin intensif keterlibatannya dalam masalah pikir memikir, semakin dibutuhkan kesanggupan berpikir yang tertib baik. Karena bidangnya sekarang semakin sulit proses pemikirannya semakin menuntut pertanggungjawaban dan ketelitian, maka logika alami tidak akan lagi mencukupi.
Betapa logika dan hasil logika secara eksplisit dipakai serta diakui sebagai senjata dan alat yang ampuh dalam menanggulangi pemikiran dan kesimpulan kesimpulan yang tidak sah, dalam menyelesaikan bermacam masalah diberbagai ilmu, khususnya ilmu ilmu social, dapat misalnya dilihat karya karya diberbagai bidang sebagai berikut
Agama : Bochenski ;
Hukum : Menger, Oppenheim, Klug;
Ekonomi : Morgenstrem, Von Neumann
Psikologi : Hempel, Piaget
Matematika : Frege, Russell, Bernays
Fisika : Russell
Biologi : Woodger
Maka sangat tepatlah nama yang diberikan pada tulisan tulisan Aristoteles tentang logika, yakni To Organon, yang artinya instrument, alat. Sebab tidak ada ilmu yang dapat mengabaikan alat ini. Logika bahkan de facto merupakan pintu gerbang dari segala ilmu. Maka beruntunglah para mahasiswa yang memasuki unuversitas atau fakultas yang memasukkan logika scientifika dalam kurikulumnya.
2.3 Matematika bukan pengganti logika
John Stuart Mill yang ahli matematika menekankan bahwa matematika tidak dapat menggantikan logika dalam kemampuannya membentuk pemikir yang cermat. Karena kurang mendapat pendidikan dan latihan yang keras dan ketat dalam soal logika, banyak orang yang sebenarnya cakap tidak mampu menguraikan jalan pikiran yang kacau dan bahkan berlawanan asas.
BAB III
SIMPULAN

Dari pembahasan yang telah diuraikan dapat disimpulkan :
1. Suatu pemikiran disebut lurus, tepat apabila pemikiran itu sesuai dengan hukum – hukum serta aturan – aturan yang sudah ditetapkan dalam logika. Kalau peraturan peraturan itu ditepati, dapatlah berbagai kesalahan atau kesesatan dihindarkan. Dengan demikian kebenaran juga dapat diperoleh dengan lebih mudah dan lebih aman. Semua ini menunjukkan bahwa logika merupakan suatu pegangan atau pedoman untuk pemikiran
2. Akhirnya , manusia pada umumnya mendasarkan tindakan tindakannya atas pemikiran, pertimbangan pertimbangan yang obyektif, demikian juga halnya dengan orang orang Indonesia sebagai pribadi dan sebagai bangsa. Bangsa Indonesia kiranya membutuhkan orang orang yang sungguh perpikir tajam dan dapat berpikir sendiri. Dari orang orang seperti inilah dapat diharapkan bimbingan serta pembinaan yang tepat untuk seluruh bangsa.


















DAFTAR PUSTAKA

Lanur, Alex OFM.1983. Logika selayang pandang.Kanisius:Yogyakarta.
Poespoprodjo, W. DR.S.H.S.S.B.Ph.L.Ph.1999. Logika Scientifika. Pustaka Grafika : Bandung
Salam, Burhanuddin, Drs. 2003. Logika Materiil. Rienike Cipta : Jakarta

Implementasi Penilaian Portofolio dalam pembelajaran Matematika Realistik (UNY, 4 April 2009)

Oleh Joko sulianto
Email: jokocakep@yahoo.com


Abstrak
Penilaian adalah kegiatan guru sesudah pelaksanaan pembelajaran, jadi orientasinya adalah hasil (product) belajar.Dengan sempitnya konteks penilaian tersebut, padahal bukan itu yang dimaksud dalam penilaian pembelajaran karena belum objektif. Paradigma baru pendidikan matematika, menghendaki dilakukan inovasi yang terintegrasi dan berkesinambungan. Salah satu wujudnya adalah inovasi yang dilakukan guru dalam pembelajaran di kelas. Pembelajaran realistik merupakan salah satu wujud inovasi pembelajaran yang menerapkan masalah-masalah realistik sebagai sumber belajar yang diharapkan mampu memunculkan konsep-konsep matematika atau matematika formal. Siswa mempunyai kesempatan untuk menemukan kembali konsep-konsep matematika untuk memecahkan masalah sehari-hari. Dan guru dapat melaksanakan penilaian yang sebenarnya. assesment dapat diartikan sebagai penilaian yang meliputi proses dan hasil belajar siswa, sehingga dengan sitem penilaian ini berbagai aspek dari siswa pun dinilai. Dengan cara ini hasil penilaian menjadi lebih lengkap karena segala usaha dan kemampuan yang dimiliki siswa dapat terungkap dan bisa dihargai berupa nilai. Hasil penilaian menjadi sangat objektif sehingga mencerminkan diri siswa secara individu maupun kelompok. Bukankah penilaian dapat diartikan sebagai penghargaan kepada siswa atas segala usaha yang dilakukannya? Bukankah penilaian dapat dimanfaatkan untuk meningkatkan motivasi, partisipasi, kesiapan, aktivitas, dan kesadaran siswa dalam belajar, sehingga setiap saat terjadi peningkatan kualitas pproses pembelajaran yang pada akirnya juga bisa meningkatkan pula hasil belajar.

Kata Kunci: Matematika Realistik, Portofolio, Kognitif, afektif, psikomotor.


Pendahuluan
Salah satu karakteristik matematika adalah mempunyai objek abstrak, sifat aabstak ini membuat banyak siswa mengalami kesulitan dalam belajar matematika. Prestasi siswa baik secara nasional maupun internasional belum menggembirakan. Rendahnya prestasi disebabkan oleh faktor siswa yaitu mengalami masalah secara komprehensip atau secara parsial dan selain itu belajar siswa belum bermakna, sehingga pengertian siswa tentang konsep salah. Kebanyakan siswa mengalami kesulitan dalam mengaitkan matematika kedalam situasi dunia nyata. Hal lain yang menyebabkan kesulitan matemtika karena guru belum mampu mengajarkan kepada siswa secara bermakna. Guru dalam pembelajaran dikelas tidak memulai dari pengetahuan yang sudah tersusun dalam skema siswa dan siswa kurang diberikan kesempatan untuk menemukan atau mengkonstruksi sendiri ide-ide matemaatika. Hal ini menunjukkan bahwa pembelajaran dikelas sseharusnya ditekankan pada keterkaitan konsep matematika dengan pengalaman anak sehari-hari. Selain itu perlu menerapkan kembali pengetahuan yang telah dimiliki anak pada kehidupan sehari-hari.

Paradigma baru pendidikan matematika, menghendaki dilakukan inovasi yang terintegrasi dan berkesinambungan. Salah satu wujudnya adalah inovasi yang dilakukan guru dalam pembelajaran di kelas. Pembelajaran realistik merupakan salah satu wujud inovasi pembelajaran yang menerapkan masalah-masalah realistik sebagai sumber belajar yang diharapkan mampu memunculkan konsep-konsep matematika atau matematika formal. Siswa mempunyai kesempatan untuk menemukan kembali konsep-konsep matematika untuk memecahkan masalah sehari-hari. Pembelajaran ini sangat berbeda dengan pembelajaran matematika selama ini yang cenderung berorientasi kepada memberi informasi dan memakai matematika yang siap pakai untuk memecahkan masalah dengan menerapkan pembelajaran realistik guru diharapkan dapat mengaitkan masalah dalam kehidupan sehari hari dengan matematika formal yang terkait dan mampu melaksanakan penilaian yang mencakup tiga aspek yaitu kognitif, afektif, psikomotor dengan menggunakan penilaian yang sebenarnya. Kebiasaan guru dalam mengumpulkan informasi mengenai tingkat pemahaman siswa melalui pertanyaan, observasi, pemberian tugas dan tes akan sangat bermanfaat dalam menentukan tingkat penguasaan siswa dalam evalusi keefektivan proses pembelajaran. Informasi yang akurat tentang hasil belajar, minat dan kebutuhan siswa hanya dapat diperoleh melalui assesment yang efektif. Penilaian yang biasa digunakan dalam sistem pendidikan kita adalah melalui deskripsi kuantitatif, yaitu tes tulis.
Mulai kurikulum 2004, istilah assesment mulai diperkenalkan dalam konteks pembelajaran disekolah, dimana sebelumnya untuk konteks ini digunakan istilah evaluasi (evaluation), penilaian (judgement) atau pengukuran (measurement). Rasional perubahan itu dikarenakan konotasi penilaian guru yang berkenaan dengan siswa adalah tes yang cenderung hanya berkaitan dengan kognitif siswa, padahal aspek afektif dan psikomotorik yang semestinya juga menjadi perhatian dan bahan penilaian. Dalam hal ini, penilaian adalah kegiatan guru sesudah pelaksnaan pembelajaran, jadi orientasinya adalah hasil (product) belajar.
Dengan sempitnya konteks penilaian tersebut, padahal bukan itu yang dimaksud dalam penilaian pembelajaran karena belum objektif, dikenalkanlah istilah assesment dengan maksud agar guru dalam menilai bisa seobjektif mungkin. Guru bisa menilai siswa tidak hanya berkenaan dengan hasil belajar siswa, tetapi meliputi proses pembelajaran. Dengan demikian penilaian yang dilakukan oleh guru tidak hanya melalui tes tetapi dengan berbagai cara dan aspek penilaian, sehingga hasil penilaian dapat mencerminkan usaha dan kemampuan siswa sebenarnya, dengan cara yang obyektif dan otentik
Assesment dapat diartikan sebagai penilaian yang meliputi proses dan hasil belajar siswa, sehingga dengan sitem penilaian ini berbagai aspek dari siswa pun dinilai. Dengan cara ini hasil penilaian menjadi lebih lengkap karena segala usaha dan kemampuan yang dimiliki siswa dapat terungkap dan bisa dihargai berupa nilai. Hasil penilaian menjadi sangat objektif sehingga mencerminkan disi siswa secara individu maupun kelompok. Bukankah penilaian dapat diartikan sebagai penghargaan kepada siswa atas segala usaha yang dilakukannya? Bukankah penilaian dapat dimanfaatkan untuk meningkatkan motivasi, partisipasi, kesiapan, aktivitas, dan kesadaran siswa dalam belajar, sehingga setiap saat terjadi peningkatan kualitas pproses pembelajaran yang pada akirnya juga bisa meningkatkan pula hasil belajar
Penilaian yang dilakukan dengan berbagai cara dan berbagai aspek yang dinilai, menyangkut penilaian proses dan produk pembelajaran, disebut dengan assasment otentik.
Rumusan Masalah
Setelah mengkaji latar belakang dapat dirumuskan masalah sebagai berikut:
Bagaimanakah implementasi penilaian portofolio dalam pembelajaran matematika Realistik?
Kajian Pustaka
1. Pengertian Penilaian Portofolio
Penilaian portofolio adalah penilaian terhadap sekumpulan karya siswa yang tersusun secara sistematis dan terorganisasi, yang diambil selama proses pembelajaran dalam kurun waktu tertentu. Penilaian ini digunakan guru maupun siswa untuk memantau perkembangan pengetahuan, ketrampilan dan sikap sisa dalam pembelajaran matematika.
Paulson(191: 60) mendefinisikan portofolio sebagai kumpulan pekerjaan siswa yang menunukka usaha, perkembangan dan kecakapan mereka dalam satu bidan atau lebih. Kumpulan ini harus mencakup partisipasi siswa dalam seleksi ini, kriteria seleksi, kriteria penilaian dan bukti reflrksi diri. Menurut Gronlund (1998: 159) portofolio mencakup berbagai contoh pekerjaan siswa yang tergantung pada keluasan tujuan. Apa yang harus tersurat, tergantung pada subjek dan penggunaan portofolio. Contoh pekerjaan siswa ini memberikan dasar bagi pertimbangan kemajuan belajarnya dan dapat dikumunikasikan kepada siswa, orang tua serta pihak lain yang tertarik dan berkepentingan
Portofolio dapat digunakan untuk mendokumentasikan perkembangan siswa. Karena menyadari proses belajar sangat penting untuk keberhasilan hidup, portofolio dapat digunakan oleh siswa untuk melihat kemajuan mereka sendiri terutama dalam hal perkembangan, sikap ketrampilan dan ekspresinya terhadap sesuatu.
Secara umum, portofolio merupakan kumpulan hasil karya siswa atau catatan mengenai siswa yang didokumentasikan secara baik dan teratur. Portofolio dapat berbentuk tugas-tugas yang dikerjakan siswa, jawaban siswa atas pertanyaaan guru, catatan hasil observasi guru, catatan hasil wawancara guru dengan siswa, laporan kegiatan siswa dan karangan atau jurnal yang dibuat siswa.
Penerapan KBK diiringi oleh penerapan strategi pembelajaran kontekstual. Sedangkan penerapan pembelajaran berbasis kontekstual sudah selayaknya diiringi oleh sistem penilaian yang berbasis kontekstual pula. Authentic assessment adalah prosedur penilaian pada pembelajaran kontekstual. Prinsip yang dipakai dalam penilaian serta ciri-ciri penilaian autentik adalah sebagai berikut:
Assessment adalah proses pengumpulan berbagai data yang bisa memberikan gambaran perkembangan belajar siswa. Gambaran perkem-bangan belajar siswa perlu diketahui oleh guru agar bisa memastikan bahwa siswa mengalami kemacetan dalam belajar, maka guru segera bisa mengambil tindakan yang tepat agar siswa terbebas dari kemacetan belajar.
Data yang dikumpulkan melalui kegiatan penilaian (assessment) bukanlah untuk mencari informasi tentang belajar siswa. Pembelajaran yang benar memang seharusnya ditekankan pada upaya membantu siswa agar mampu mempelajari, bukan ditekankan pada diperolehnya sebanyak mungkin informasi di akhir periode pembelajaran. Karena assessment menekankan proses pembelajaran, maka data yang dikumpulkan harus diperoleh dari kegiatan nyata yang dikerjakan siswa pada saat melakukan proses pembelajaran. Kemajuan belajar dinilai dari proses, bukan melulu hasil dan dengan berbagai cara. Tes hanya salah satunya.
Berikut ini adalah model portofolio matematika yang berisi contoh-contoh pekerjaan siswa antara lain:1) Uraian tertulis hasil kegiatan praktik atau penyelidikan matematika, 2) gambar-gambar dan laporan lisan, perluasan analisis situasi masalah dan penelitian, 3) uraian dan diagram dari proses pemecahan masalah, 4) penyajian data statistik dan grafik. Disamping itu hal lain yang dapat dicantumkan adalah 1) laporan penyelidikan tentang ide matematika seperti hubungan antara dua fungsi, koordinat grafik, 2) respon terhadap pertanyaan open ended, dll.
2. Manfaat Portofolio
Penilaian portofolio dapat digunakan untuk berbagai keperluan, misalnya seperti yang dikemukakan oleh Berenson dan carter (1995: 63) sebagai berikut: 1) mendemonstrasikan kemajuan siswa selama kurun waktu tertentu, 2) Mengetahui bagian-bagian yang perlu diperbaiki, 3) Membangkitkan kepercayaan diri dan motivasi untuk belajar, 4) mendorong tanggungjawab siswa untuk belajar. Sedangkan menurut Gronlund (1998:158) portofolio memiliki beberapa keuntungan antara lain: 1) Kemajuan belaja siswa dapat terlihat dengan jelas, 2) penekanan pada hasil pekerjaan terbaik siswa memberikan pengaruh positif dalam belajar, 3) membandingkan pekerjaan sekarang dengan yang lalu memberikan motivasi yang lebih besar dari pada membandingkan dengan milik orang lain.
3. Pelaksanaan asesment Portofolio Matematika
Pelaksanaan asesmen portofolio mensyaratkan kejujuran siswa dalam melaporkan rekaman belajarnya dan kejujura guru dalam menilai kemampuan siswanya sesuai dengan kriteria yang telah disepakati. Adapun betuk-bentuk asesment portofolio diantaranya sebagai berikut:1) catatan anekdotal, yaitu berupa lembaran khusus yang mencatat segala bentuk kejadian mengenai perilaku siswa, khususnya selama berlangsungnya proses pembelajaran. Lembaran ini memuat identitas yang diamati, waktu pengamatan, dan lembar rekaman kejadian, 2) ceklis atau daftar cek, yaitu daftar cek yang telah disusun berdasarkan tujuan perkembangan yang hendak dicapai siswa, 3) skala penilaian yang mencatat isyarat kemajuan perkembangan siswa, 4) respon-respon siswa terhadap pertanyaan, 5) tes skrining yang berguna untuk mengidentifikasi ketrampilan siswa setelah pengajaran dilakukan.
Adapun aspek-aspek yang bisa dievaluasi dalam bidang matematika menurut Stenmark(1991: 64) sebagai berikut: 1) Pemahaman Permasalahan, 2) Pendekatan dan strategi, 3) Hubungan, 4) Fleksibilitas, 5) Komunikasi, 6) dugaan dan hipotesis, 7) Persamaan dan Keadilan, 8) Penyelesaian, 9) Hasil pengujian, 10) Pembelajaran matematika.
Mengevaluasi portofolio bukanlah suatu tugas yang mudah, sebab tidak pernah ada dua portofolio yang tepat sama, hal ini disebabkan individu yang menyiapkan portofolio tersebut akan mengikut sertakan item-item yang berbeda sesuai dengan kelebihan yang dimilikinya
4. Pembelajaran Matematika Realistik
Matematika Realistik yang dimaksud dalam hal ini adalah matematika sekolah yang dilaksanakan dengan menempatkan realitas dan pengalaman siswa sebagai titik awal pembelajaran. Masalah-masalah raelistik digunakan sebagai sumber munculnya konsep-konsep matematika atau pengetahuan matematika formal. Pembelajaran matematika realistik di kelas beorientasi pada karakteristik-karakteristik RME, sehingga siswa mempunyai kesempatan untuk menemukan kembali konsep-konsep matematika atau pengetahuan matematika formal, selanjutnya siswa diberikan kesempatan mengaplikasikan konsep-konsep matematika untuk memecahkan masalah sehari-hari
5. Pembelajaran Matematika Realistik Menurut Pandangan Konstruktivis
Pembelajaran matematika menurut pandangan konstruktivis adalah memberikan kesempatan kepada siswa untuk mengkonstruksi konsep-konsep/prinsip matematika dengan kemampuan sendiri melalui proses generalisasi. Guru dalam hal ini berperan sebagai fasilitator. Menurut Davis (1996) pandagan konstruktifis pembelajaran matematika berorientasi pada: 1) pengetahuan dibangun dalam pikiran melalui proses asimilasi dan akomodasi, 2) dalam pengerjaan matematika, setiap langkah siswa dihadapkan kepada apa, 3) informasi baru harus dikaitkan dengan pengalamannya tentang dunia melalui suatu kerangka logis yang mentranformasikan, mengorganisasikan, dan menginterprestasikan pengalamannya, dan 4) pusat pembelajaran adalah bagaimana siswa berpikir, bukan apa yang mereka tulis atau katakan

Contoh Format Penilaian Portofolio
Tabel 1. Format Asesmen untuk life skill dan kompetensi dasar
Life Skill Aspek Life skill Kompetensi Dasar
KD-1 KD-2 KD-3 KD-4 ...
Kesadaran diri 1 Makluk Tuhan
2 Eksistensi diri
Potensi Diri
Kecakapan Berpikir 1 Menggali inovasi
2 Mengolah informasi
3Mengambil keputusan
4Memecahkan masalah

Kecakapan Sosial 1 Komunikasi lisan
2 Komunikasi tertulis
3 Komunikasi gerak
4 Bekerjasama
Kecakapan Akademik 1 Pemahaman
2 Penalaran
3 Penerapan
4 Analisis sintesis
5 Inkuiri
6 Generalisasi













Contoh: Format Lembar observasi sikap siswa
No Indikator Sikap SK 1 SK 2 SK 3 SK 4 SK 5 ...
1 Keterbukaan
2 Ketekunan belajar
3 Kerajinan
4 Tenggang rasa
5 Kedisiplinan
6 Kerjasama
7 Keramahan
8 Hormat kepada guru
9 Kejujuran
10 Menepati janji
11 Kepedulian
12 Tanggung jawab
Nilai rata rata







Contoh Penilaian portofolio SMP
Kompetensi Dasar
Menyelesaiakan operasi bilangan bulat dan mengenal sifat operasi pada bilangan bulat
Nama Siswa :
Kelas :
Indikator Hasil Belajar Tanggal Pencapaian
1. Menentukan hasil operasi hitung pembagian bilangan bulat
2. Menentukan hasil operasi hitung perkalian bilangan bulat
3. Menentukan hasil operasi pengurangan bilangan bulat
4. Menentukan hasil operasi hitung penjumlahan bilangan bulat
5. Menentukan letak bilangan bulat pada garis bilangan
6. Menyatakan besaran sehari-hari yang menggunakan bilangan negatif
7. Memberi contoh bilangan bulat

Penutup
Dengan pembelajaran Realistik siswa mempunyai kesempatan untuk menemukan kembali konsep-konsep matematika atau pengetahuan matematika formal, selanjutnya siswa diberikan kesempatan mengaplikasikan konsep-konsep matematika untuk memecahkan masalah sehari-hari.
Guru juga harus mampu memberikan penilaian yang sebenarnya yang meliputi semua aspek, Penilaian portofolio merupakan kumpulan catatan dan hasil karya siswa. Data yang dikumpulkan melalui kegiatan penilaian (assessment) bukanlah untuk mencari informasi tentang belajar siswa. Pembelajaran yang benar memang seharusnya ditekankan pada upaya membantu siswa agar mampu mempelajari, bukan ditekankan pada diperolehnya sebanyak mungkin informasi di akhir periode pembelajaran. Karena assessment menekankan proses pembelajaran, maka data yang dikumpulkan harus diperoleh dari kegiatan nyata yang dikerjakan siswa pada saat melakukan proses pembelajaran. Kemajuan belajar dinilai dari proses, bukan melulu hasil dan dengan berbagai cara. Tes hanya salah satunya.



Daftar Pustaka
Davis. 1996. One very complite view (though only one) of how children learn matematics. Dalam jurnal pendidikan in matematics Education Vol.27. No. 1 Januari 1996. hal 100-106.
Erman, S. Ar. 2007. Asesmen portofolio;makalah diklat. Bandung: LPMP Jawa Barat.
Gronlund, N E. 1998. Assesment of Student Achievment Sixth Edition. Boston: Allyn.
Paulson, F L. 1991. What makes a portofolio? Eight thoughtful guidelines will help educators encourage self-directed learning. Educational Leadership. Februari 1991.
Ramdi, H. 1991. Penerapan asesmen portofolio dalam mengembangkan konsep diri siswa terhadap matematika. Tesis.PPS IKIP Bandung.

THE PSYCHOLOGY OF ADVANCED MATHEMATICAL THINKING

Advanced Mathemathical Thinking
Oleh: Joko Sulianto

A. Pendahuluan
Pelajaran itu termasuk dua mata pelajaran, Psikologi dan matematika. Dan akan membutuhkan seorang ahli Psikologi dan ahli matematika untuk mempelajari secara cukup, mata pelajaran itu telah di teliti oleh ahli matematika dan juga oleh ahli psikologi disisi yang lain.
Orang yang menerangkan dua mata pelajaran itu mungkin melihat pelajaran itu dari segi yang berbeda-ahli psikologi menyampaikan teori ilmu kejiwaan yaitu tentang proses berfikir yang lebih komplek dibidang pengetahuan-ahli matematika memberikan wawasan tentang proses berfikir kreatif. Mungkin dengan harapan untuk peningkatan kwalitas didalam mengajar dan dalam penelitian. Walaupun kita akan menganggap keuntungan dasar berfikir secara matimatika dari segi pandang seorang ahli psikologi, tujuan utama kita yaitu untuk mencari nilai wawasan dari ahli matematika profesinya sebagai peneliti dan guru.
Kita memulai dengan melihat pada pertimbangan psikologi yang akan menempatkan pondasi dibagian ide pengenalan tidak hanya pada bab sisa. Tetapi didalam buku secara keseluruhan. Kita kemudian memfokuskan perhatian kita secara penuh pada kegiatan berfikir secara matematika yang memberikan keuntungan. Dari tindakan yang kretif dalam mempertimbangkan sebuah kontek masalah didalam penelitian mate-matika yang menciptakan formulasi kreatif dari terkaan dan pada taraf yang terakhir yaitu kemurnian dan bukti. Kita berpendapat bahwa banyak dari kegiatan-kegiatan yang terjadi dalam lingkaran ini juga terjadi di tingkat penyelesaian masalah matematika tingkat dasar, tetapi kemungkinan dari difinisi formal dan pengambilan kesimpulan adalah salah satu faktor yang membedakan keuntungan berfikir sacara mate-matika. Kita juga akan menemukan bahwa mengajar matematika kepada para mahasiswa sering menampilkan bentuk akhir dari teori penarikan kesimpulan yang memungkinkan murid untuk dapat serpartisipasi secara penuh. Menurut pendapat skemp {1971}, pendekatan baru terhadap pengajaran mahasiswa cinderung pada pemberian murid-murid pemikiran hasil dari penghitungan matematika dari pada proses penghitungan mate-matika.
Mungkin tidak hanya metode terbaru dalam penyajian keuntungan pengetahuan matematika yang gagal untuk memberikan kekuatan penuh dalam hal berfikir secara matematika, ini juga mempunyai kekurangan yang serius : a. sebuah penjelasan secara logika mungkin tidak cocok untuk perkembangan kognitif mahasiswa / pelajar sesungguhnya banyak teori empiris yang dilaporkan pada bab selanjutnya / berikutnya pada sebuah buku yang mengungkapkan halangan-halangan kognitif yang membangkitkan perjuangan murid-murid untuk menemukan ide-ide yang menantang susunan kemampuan mereka. Untungnya, kita juga dapat melaporkan bukti empiris yang tepat dalam belajar dan dalam memberikan instruksi untuk membantu murid-murid aktif yang dapat membuktikan kesuksesan yang luar biasa.

B. PERTIMBANGAN KOGNITIF

Kita mulai dengan melihat, tidak pada logika dan bukti-bukti umum lainya dari berfikir dari mate-matika yang ditemukan dalam penelitian artikel dan buku bacaan, tetapi pada hal dimana hubungan koherensi ini dibangun dalam penelitian matematika dan pengertian-pengertian bagaimana pemikiran ini dapat di implimentasikan dalam pengajaran dan pembelajaran.

1.1 Defferent Kinds Of Mathematical Mind

Pada dekade pertama di abad ini, ahli mate-matika Hendri Poincare menyatakan:
Ini tidak mungkin untuk belajar pekerjaan dari ahli matematika yang besar, atau bahkan yang kurang terkenal tanpa melihat dan membedakan dua kecendrungan yang berlawanan , atau dari jenis-jenis pikiran yang ya berbeda. Salah satu jenis yaitu dengan logika, untuk membaca pekerjaan mereka,salah satunmenarik untuk mempercayai bahwa mereka kemajuan hanya tahap demi tahap, setelah cara dari Sebastian de Vauban yang mendorong untuk perlindung dari kepungan,yang tidak meninggalkan kesempatan.
Jenis yang lain yaitu bimbingan oleh instuisi dan yang pertama menghitung cepat tetapi kadang – kadang sangat sulit, seperti pasukan pemberani dari penjaga yang pemberani.
Dia mendukung pendapatnya dengan membedakan pekerjaan yang berbeda-beda dari ahli matematika, termasuk analisa terkenal dari Jerman, Weierstrass dan Reiman, menghubungkannya dengan pekerjaan murid-murid.
Weierstrass membuat segala sesuatu kembali ke pertimbangan yang berangkaian dan transformasi / perubahan analitik mereka. Untuk mengekspresikannya menjadi lebih baik, dia mengurangi analisis pengurangan aritmatika, kamu mungkin membuka semua bukunya tanpa menemukan sebuah bilangan, sebaliknya Reiman, menyebut geometri sebagai penolongnya, setiap gambarannya adalah gambar yang setiap orang tidak dapat lupakan, ketika dia sudah menemukan arti dari gambar-gambar itu.
Diantara murid-murid kita , kita melihat perbedaan yang sama, beberapa lebih suka memecahkan masalah mereka dengan menganalisa sedang murid yang lain dengan geometri pertama tidak dapat melihat tempat, sedang yang lain cepat lelah karena menghitung lama dan menjadi kebingungan.
Tentu saja, tidak hanya ada 2 jenis yang berbeda dari pikiran matematika tetapi banyak kroneker setuju dengan Weierstrass bahwa logika trbuktiyang paling penting dan melebihi intuitif, tetapi dasar kepercayaan mereka didalam konsep matematika sangatlah berbeda. Weierstrass menyatakan bahwa sebuah jumlah irasional mempunyai keberadaan yang nyata daripada konsep yang lainnya. Tetapi Kronecker tidak dapat menerima jumlah yang tak berakhir dari jumlah yang nyata. Menyatakan bahwa Tuhan memberi kita bilangan bulat, selebihnya adalah pekerjaan manusia. Berdasarkan pada dugaan Weierstrass pada hasil jumlah nyata yang tak terhitung hasil jumlah akhirnya.
Banyak pendapat tentang pondasi matematika membuat perkembangan di beberapa untaian yang berbeda dari pilosopi matematika pada awal abad 20han. Pandangan dari ahli instuisi yang ditampilkan oleh Kronecker menyatakan bahwa konsep matematika hanya ada ketika susunan mereka di demonstrasikan dari bilangan bulat, pandangan penyusun Hilbert menegaskan bahwa matematika adalah manipulasi arti dari tanda-tanda yang tidak mempunyai pandangan, menyatakan bahwa matematika terdiri dari deduksi/pengambilan kesimpulan dengan menggunakan logika.
Praktek dari ahli matematika cenderung memberi jarak untuk diri mereka dari pendapat yang hanya diketahui oleh orang-orang tertentu saja dan mudah memahami pekerjaan mereka dan pembuktian dalil, dengan demikian di abad ke-20 sudah melihat kematian dari pandangan Kroneker dan keberhasilan dari sebuah percampuran pragmatic dari formalisme dan logika. Ia sudah melihat kreasi dari jumlah yang besar dari sistem format berdasarkan pada pengambilan keputusan dengan logika dari definisi yang format dan aksioma – sebuah pendekatan yang hidup berupa makhluk hidup bertiup oleh dalil Godel yang tidak lengkap. Sehingga beberapa sistem aksiomasi termasuk bilangan bulat harus berisi pernyataan yang benar yang tidak dapat dibuktikan dengan sebuah urutan terbatas dari langkah-langkah didalam sistem.
Buku pelajaran oleh Rishop(1967) pada pembuatan analisa yang mendesak pada algoritma pembuatan bukti dan menolak bukti dengan pembantahan sendiri – nampak tetapi sebuah keganjilan yang terisolasi di dalam dinamika mengalir pada abad ke-20 tentang kreatifitas matematika. Namun perkenalan terkini dari teknologi komputer mungkin belum melihat sebuah kebangunan kembali dalam pembangunan karena cara dari komputer tersebut dalam memanipulasi data komputer telah mempengaruhi matematika yang tak dapat dielakkan. Seperti perkembangan jalan kereta api yang mempengaruhi aturan-aturan di dalam perkembangan tanah. Dengan komputer ini memungkinkan untuk melakukan tes hipotesa dan mengumpulkan data dengan mudah yang dulunya hanya dapat diperoleh hanya dengan melalui teknik yang rumit ini tidak hanya mempengaruhi jenis pertanyaan para ahli matematika kerjakan. Tetapi juga cara yang mereka fikirkan ahli matematika harus bertanya contoh yang mana dapat diujikan di sebuah komputer, sebuah pertanyaan yang dipaksa untuk mempertimbangkan algoritma yang kongkrit dan mencoba untuk membuatnya efisien. Karena hal ini dan karena algoritma mempunyai aplikasi kehidupan yang nyata dari kepentingan yang dapat dipertimbangkan, perkembangan dari algoritama telah menjadi sebuah topik yang dihargai pada haknya sendiri. (Edwards,1987)
Alasan mengangkat perbedaan-perbedaan ini di dalam persepsi/ pandangan ahli matematika adalah untuk meninggikan kesadaran dari si pembaca tentang bagian mereka sendiri dalam pengayaan hidup, dengan sebuah pandangan pribadi dari matematika yang akan membedakan dalam banyak cara dari gambaran orang lain. Ini mungkin muncul sebagai sebuah kejutan ketika baru menyadari bahwa orang lain mempunyai perbedaan pendapat yang radikal. Ini terjadi pada Author ketika menggunakan gambar untuk membantu murid-murid membayangkan ide-ide didalam analisa matematika, pada waktu ketika dia tidak bertanya kepercayaan yang implisit bahwa pendekatan seperti itu adalah sah diseluruh dunia. Whilst menulis sebuah buku pelajaran pada analisa yang komplek, sebuah perguruan tinggi di ruang sebelah digunakan pada perusahaan yang sama, pada buku yang terakhir hampir tidak mempunyai gambar sama sekali. Dia hanya menyertakan sebuah ilustrasi diagram juga pendapat dari sebuah jumlah yang komplek setelah melalui penelitian yang sangat besar. Baginya angka yang nyata adalah sebuah elemen dari sebuah bahan yang lengkap dan angka yang komplek adalah pasangan dari angka-angka yang nyata. Pendapat dari sebuah angka komplek (xy) ditegaskan sebagai angka yang nyata seperti:
x y
Cos () = , sin (  ) = _________
 x 2  x 2 + y2


Ketika sin dan cos didefinisikan / ditegaskan dengan serangkaian angka nyata. Teori tidak memerlukan arti geometri. Dia mengambil cara sulit ini untuk menyakinkan bahwa pendapatnya adalah hasil dari pengambilan kesimpulan secara logika dan tidak tergantung pada instuisi geometri. Pada saat itu Author bersimpati pada pandangan philosopi ini, tetapi menganggapnya terlalu sulit untuk murid-murid. Itu adalah beberapa pertimbangan waktu sehingga tidak semua murid membagi padangan geometri, tidak seorangpun mendapatkan kekuasaan di seluruh dunia.

1.2. Meta – Theoretical Considerations

Matematika adalah sebuah pembagian kebudayaan dan ada aspek-aspek yang bergantung pada konsep. Contohnya : sebuah pandangan analisa dari perbedaan yang mungkin sangat berbeda dari penerapan matematika dan masing-masing individu mungkin mempunyai sifat-sifat yang berbeda dari konsep yang bergantung pada konsep apakah ini dipertimbangkan di sebuah analisa atau penerapan kontek. Kita akan melihat (bab11) bahwa sifat-sifat seperti itu dapat menyebabkan konflik bagi murid-murid juga.
Pada tingkat psikologi yang jauh lebih dalam, kita semua mempunyai cara yang hampir berbeda dalam memandang konsep matematika yang diberikan, bergantung pada pengalaman kita sebelumnya. Sebagai contoh, “kelengkapan aksioma” untuk angka-angka sebenarnya dipandang oleh beberapa orang sebagai “mengisi semua celah diantara angka-angka rasional untuk memberi semua titik pada barisan angka”. Pandangan seperti itu mungkin menyatakan bahwa “tidak ada ruangan” yang cocok untuk angka-angka yang lain lagi : barisan angka itu sekarang “lengkap”. Barisan angka yang “sebenarnya” itu, secara khusus tidak dapat mengandung “angka-angka yang sangat kecil” yang lebih kecil dari rasional positif yang lain, namun bukan nol. Tetapi, untuk lainnya “penyelesaian” hanya sebuah aksioma teknis untuk membatasi titik batas dari rentetan angka-angka rasional. Dalam hal ini sangatlah mungkin untuk melekatkan angka – angka sebenarnya dalam sejumlah besar varietas yang termasuk halangan yang sangat kecil dn bilangan tidak terbatas. Pandangan inilah yang memimpin kepada teori bilangan sangat kecil yang modern dari “analisis non-standar”. Namun ide yang terakhir itu dianggap jijik oleh banyak ahli matematika, termasuk Cantor, yang menyangkal keberadan bilangan yang sangat kecil dengan dasar bahwa tidaklah mungkin menghitung timbal balik sebuah angka yang tidak terbatas dalam teori tak terbatas utamanya. Bahkan sekarang banyak ahli matematika direpotkan oleh ide-ide bilangan sangat kecil dari analisis non-standar ; mereka tidak mungkin menyangkal logikanya, tetapi mereka merumuskan psikologi mendalam tanpa mengurangi validitas.

Jadi teori psikologi pemikiran matematis apapun harus dilihat dalam konteks yang lebih luas dari penghitungan manusia dan aktivitas budaya. Tidak ada satupun yang benar, cara yang mutlak dari pemikiran tentang matematika, tetapi bermacam-macam cara berpikir yang dikembangkan secara budaya yang mana berbagai aspek itu relatif pada konteks.

1.3 KONSEP GAMBAR DAN KONSEP DEFINISI
(Concept Image and concept Definition)

Dalam tall dan vinner (1981), perbedaan dibuat antara cara individu memikirkan sebuah konsep dan definisi formalnya, jadi membedakan antara matematika sebagai sebuah aktifitas penghitungan dan matematika sebagai sebuah sistem formal. Teori ini diterapkan untuk ahli matematika seperti halnya siswa berkembang.
Otak manusia bukanlah sebuah kesatuan logika yang murni. Cara kompleks dimana hal itu berfungsi sering berbeda dengan logika matematika. Hal ini tidak selalu logika murni yang memberi kita pengetahuan, tidak juga kesempatan yang membuat kita melakukan kesalahan. Kita seharusnya menggunakan istilah konsep gambar untuk mendeskripsikan total struktur kognitif. Yang diasosiasikan dengan konsep itu, yang termasuk semua gambaran penghitungan dan sifat luar biasa dan proses. Konsep itu dibentuk selama bertahun-tahun melalui semua jenis-jenis pengalaman, berubah ketika individu bertemu rangsangan baru dan kedewasaan. Saat konsep gambar berkembang itu tidak perlu masuk akal. Setiap saat otak tidak bekerja dengan cara itu. Input pancaindra merangsang jalannya saraf tertentu dan menghambat yang lain. Dengan cara ini, rangsangan yang berbeda dapat mengaktifkan bagian yang berbeda dari konsep gambar, menyeimbangkan mereka dalam suatu cara yang tidak perlu membuat sebuah keseluruhan yang masuk akal.

Dengan cara ini, ada kemungkinan untuk pandangan-pandangan yang bertentangan untuk diadakan dalam pikiran dari suatu individu yang diberi dan untuk ditimbulkan dalam waktu yang berbeda tanpa individu itu menjadi sadar akan konflik sampai pandangan-pandangan itu ditimbulkan secara serentak. Ahli matematika yang dewasa tidak bebas dari konflik-konflik internal, tapi dia telah dapat menghubungkan bersama sejumlah besar pengetahuan ke dalam rangkaian-rangkaian argumen dedukatif. Untuk seseorang seperti itu nampaknya jauh lebih mudah untuk mengkategorikan pengetahuan ini kedalam suatu cara terstruktur yang logis. Jadi seorang ahli matematika boleh mepertimbangkan hal itu berguna untuk memberi bahan untuk siswa dengan sebuah cara menyoroti kelogisan subyek itu. Namun, seorang siswa tanpa pengalaman dari guru mungkin menemukan pendekatanformal itu awalnya sulit, sebuah fenomena yang mungkin dipandang oleh guru seperti kekurangan pengalaman atau kepandaian di pihak siswa. Hal ini adalah sudut pandang ynag menyenangkan untuk diambil khususnya ketika guru adalah bagian dari masyarakat matematis yang membagikan pengertian ilmu pasti. Tetapi hal itu belum realistis dalam konteks yang lebih luas dari kebutuhan-kebutuhan siswa. Hal yang perlu untuk mereka adalah pendekatan untuk pengetahuan matematika yang berkembang ketika mereka berkembang. Sebuah pendekatan kognitif yang mengambil bagian dari perkembangan pola pengetahuan dan proses berpikir mereka. Untuk menjadi ahli matematika yang dewasa pada tingkatan yang tinggi, mereka akhirnya harus memperoleh wawasan tentang jalan dari ahli-ahli matematika tingkat tinggi, tetapi dalam perjalanan mereka mungkin manemukan sebuah alur cerita yang mungkin membutuhkan peralihan yang menjadi asas dalam proses pemikiran mereka.

1.4 PERKEMBANGAN KOGNITIF
( Cognitive Development)
Ada banyak persaingan teori dalam psikologi. Teori tingkah laku yang dibentuk atas pengamatan dari luar atas dorongan dan respon, menolak untuk memikirkan tentang pekerjaan di dalam pikiran. Teori ini menyediakan bukti yang dapat diamati dan diulang-ulang tentang tingkah laku binatang-binatang, termasuk manusia dibawah dorongan yang berulang-ulang. Tetapi teori ini mempunyai aplikasi yang terbatas pada pemikiran matematis diluar mekanika algoritma rutin. Psikologi yang membangun, di lain pihak mencoba untuk mendiskusikan bagaimana ide-ide penghitungan diciptakan didalam pikiran masing-masing individu. Hal ini mungkin merupakan sebuah masalah dialektika untuk ahli matematika dengan ajaran plato dibidang matematika yang ada secara bebas dari pikiran manusia, tetapi hal itu ternyata untuk memberi wawasan yang berarti dalam proses kreatif dari ahli matematika yang meneliti. Sama baiknya dengan kasulitan-kesulitan yang dialami oleh siswa-siswi matematika.

Psikologi Swiss terkemuka, Piaget, melihat individu perlu berada dalam keseimbangan dinamis dengan lingkungannya sebagai sebuah inti yang mendasari pekerjaanya. Keseimbangan ini dapat terganggu melalui konfrontasi dengan pengetahuan baru yang bertentangan dengan yang lama, dan sehingga sebuah periode peralihan mungkin terjadi yang mana struktur pengetahuan itu dibentuk ulang untuk memberikan level keseimbangan yang lebih dewasa.
Piaget melihat anak tumbuh menjadi dewasa melalui serangkaian tingkat-tingkat keseimbangan, masing-masing lebih kaya dari sebelumnya. Dia mengidentifikasikan 4 tingkat utama. Yang pertama adalah tingkat “sensor motorik” sebelum perkembangan kemampuan berbicara yang penuh dengan arti, diikuti oleh tingkat pra-operasional ketika anak muda itu menyadari ketetapan objek-objek, yang terus ada bahkan jika mereka untuk sementara diluar pengelihatan. Anak itu kemudian berjalan melalui sebuah peralihan menjadi periode “operasi konkrit” dimana dia dapat dengan tajam mempertimbangkan konsep-konsep yang dihubungkan dengan objek-objek fisik, kemudian melewati periode “operasi formal” pada awal remaja ketika jenis hipotesis “jika-kemudian” menjadi mungkin.
Teori tingkatan Piaget telah diperluas sampai tingkatan-tingkatan yang lebih tinggi untuk mancakup perkembangan pemikir matematis. Sebagai contoh, Ellerton(1985) menyarankan bahwa lingkaran Piaget dari sensor motorik, pra operasional dan konkrit adalah tahap pertama sebuah perkembangan kognitif spiral yang mana tingkat formal adalah awal lingkaran lain dari tipe yang sama pada sebuah tahap pemisahan yang lebih tinggi. Biggs dan Collis (1982) menyarankan pengulangan operasi formal berturut-turut pada level-level lebih tinggi, masing-masing mengulang lingkaran pengetahuan: struktur tunggal, struktur jamak, hubungan.
Kesulitan penerapan teori itu ke perguruan tinggi yang mengajarkan matematika adalah bahwa banyak/ mungkin paling banyak mahasiswa tidak dapat melakukan tahap abstrak dari operasi formal, yang Piaget laporkan terjadi pada anak-anak selama awal remaja mereka. Ausubel mengkritik teori tingkatan itu:
-karena seperti persentase tinggi dari murid-murid sekolah dan perguruan tinggi Amerika gagal untuk mencapai tahap abstrak dari operasi logis kognitif. (Ausubel et al 1968. p.230)
Papert (1980) menegaskan: Teori tingkatan Piaget pada dasarnya kolot, hampir reaksioner dalam menekankan apa yang anak-anak tidak dapat lakukan. Saya berusaha keras untuk menemukan Piaget yang lebih revolusioner, seseorang yang ide-ide filosofi pengetahuannya mungkin memperlebar batas yang diketahui dari pikiran manusia.
Kemajuan matematika memperlengkapi kita dengan metafora berguna yang memperluas pandangan teori tingkatan menjadi sebuah teori yang lebih berharga dalam pengembangan pemikiran matematis tingkat tinggi. Piaget menggunakan sebuah persamaan dengan teori grup untuk menyokong pengertiannya tentang keseimbangan dinamis dari pertumbuhan kognitif. Dia melihat tanda-tanda dasar seperti mewakili bagian yang stabil dan mencatat bahwa stabilitas dapat dipertahankan bila perubahan apapun dari bagian ini dapat dibalik, jadi menyarankan sebuah grup struktur yang mana setiap elemen mempunyai sebuah kebaikan. Tetapi pemeliharaan bagian dinamis dari keseimbangan itu mempunyai kiasan matematika yang lebih jelas dalam sistem dinamis dan teori malapetaka. Disini sebuah sistem diatur oleh parameter yang bermacam-macam secara terus menerus dapat tiba-tiba melompat dari 1 posisi keseimbangan ke yang lain ketika yang pertama menjadi tidak dapat dipertahankan. Bergantung pada sejarah parameter yang bermacam-macam, peralihan itu mungkin lancar atau mungkin berhenti. Perbandingan ini menyarankan bahwa teori tingkatan itu mungkin hanya sebuah penyepelean tingkat dari sistem perubahan yang jauh lebih kompleks, setidaknya hal ini mungkin seperti itu ketika rute ynag memungkinkan melalui sebuah jaringan ide-ide menjadi lebih banyak, sebagaimana yang terjadi dalam pemikiran matematika tingkat tinggi.


1.5 PERALIHAN DAN REKONSTRUKSI PENGHITUNGAN / PENGHITUNGAN (Transition and mental Reconstruction)

Aspek yang jauh lebih berharga dalam teori Piaget adalah proses peralihan dari satu bagian penghitungan ke bagian lain. Selama peralihan itu, tingkah laku yang tidak stabil adalah mungkin terjadi, dengan pengalaman dari ide-ide sebelumnya yang bertentangan dengan elemen-elemen baru. Piaget menggunakan istilah-istilah “asimilasi” untuk mendeskripsikan proses yang oleh struktur kognitif individu harus dimodifikasi. Dia melihat asimilasi dan akomodasi sebagai pelengkap. Selama peralihan, banyak akomodasi dibutuhkan. Skemp (1979) menanamkan ide-ide yang sama dengan cara yang berbeda dengan membedakan antara kasus dimana proses belajar menyebabkan perluasan sederhana dari struktur kognitif individu dan kasus dimana ada konflik kognitif, membutuhkan rekontruksi penghitungan. Proses rekonstruksi inilah yang menimbulkan kesulitan-kesulitan yang terjadi selama masa peralihan.
Peralihan seperti itu sering terjadi dalam matematika tingkat tinggi sebagai perjuangan individu dengan struktur pengetahuan yang baru. Konflik adalah fenomena yang terkenal dalam pikiran matematika.

1.6 RINTANGAN-RINTANGAN (obstacles)
Masalah paling serius terjadi ketika ide-ide baru tidak ditampung dengan memuaskan. Dalam hal ini, ada kemungkinan untuk ide-ide yang bertentangan untuk dihadirkan dalam seorang individu dengan segera dan dalam waktu yang sama.

Pengetahuan baru sering bertentangan dengan yang lama, dan belajar yang efektif membutuhkan stretegi-strategi untuk menghadapi konflik seperti itu. Kadang-kadang potongan yang bertentangan dari pengetahuan dapat didamaikan, kadang-kadang satu atau yang lain harus dibuang dan kadang-kadang keduanya dapat dijaga bila dengan aman dipertahankan dalam bagian yang terpisah.
Thesis Cornu(1983) mempelajari perkembangan konsep batasan proses dari sekolah ke universitas dan menggaris bawahi bagaimana penggunaan sehari-hari istilah “batasan” mempengaruhi penggunaan matematika. Dia mendiskusikan ide sebuah “rintangan”, yang diperkenalkan oleh Baston Bachelard(1938):
Sebuah rintangan adalah sepotong pengetahuan, bagian pengetahuan siswa. Pengetahuan ini pada satu waktu adalah kepuasan dalam menyelesaikan masalah-masalah tertentu. Tepatnya aspek kepuasan ini yang telah melabuhkan konsep dalam pikiran dan membuatnya sebuah rintangan. Pengetahuan nantinya terbukti tidak cukup ketika menghadapi masalah – masalah baru dan tidak cukupan ini mungkin tidak nyata. ( Comu 1983, ( Original in french))
Ringtangan – rintangan yang ditemukan oleh Comu termasuk masalah – masalah yang siswa hadapi ketika mereka harus menghitung limits menggunakan teknik yang lebih halus dari pada operasi – operasi angka sederhana dan algebra. Dia mendiskripsikan bagaiman konsep tak terbatas diperkenalkan dan “dikelilingi oleh misteri’’, namun teknik baru “bekerja” tanpa pengertian mengapa oleh siswa. Dia mendemonstrasikan bagaimana pengalaman – pengalaman siswa dapat memimpin untuk percaya dengan sangat besar dan sangat kecil, dengan “0,9 perulangan” menjadi sebuah angka “ kurang dari 1” dan simbol E mewakili untuk banyak siswa sebuah jumlah yang lebih kecil dari angka real positif, tetapi bukan nol. Adu asumsi mutlak bahwa proses limit itu “berlangsung selamanya”, bahwa limit itu “tidak pernah dapat dicapai”. (lihat chapter 10).
Tall (1986a) menyarankan sebuah penjelasan yng diberikan untuk fenomena ini sebagai prinsip perluasan umum
Bila seorang individu bekerja dalam sebuah konteks terbatas yang menurut semua contoh – contoh dipertimbangkan mempunyai sifat tertentu, kemudian dalam ketiadaan contoh-contoh yang berlawanan, pikiran mengasumsi sifat yang dikenal itu selengkapnya dalam konteks yang lain.
Menurut sejarah hal ini diabadikan dalam “ prinsip kontinuitas “ dari Leibniz
Dalam tiap peralihan yang diharuskan, berakhir dalam tiap ujung penghabisan, hal ini diperbolehkan untuk menyatakan sebuah alasan umum, yang mana ujung terakhir juga boleh dimasukkan ( Leibniz, dalam sebuah surat untuk Bayle, Januari 1687 )
Rintangan-rintangan yang timbul dari dalam menjadikan kepastian tentang matematika itu jarang mudah dihapus dari pikiran.kita semua dapat mengatasi kesulitan penghitungan dari kepercayaan – kepercayaan seperti itu, banyak yang kita sembunyikan, tapi tidak eliminasi, ketika berhadapan dengan logika matematika. Seringkali jejak satu-satunya dari rintangan seperti itu adalah melalui pengertian dari ketidak senangan ketika ada deduksi logis yang tidak “ dirasa benar “. Kita melihat ini sehingga hal dari konflik kognitif antara bagian- bagian tetap dari gambaran konsep individu.

1.7. GENERALISASI DAN ABSTRAKSI (generalization and abstraction)

Suatu kesulitan yang biasa diamati pada pembelajaran matematika lanjutan oleh siswa adalah komplain mereka bahwa subjeknya “ terlalu abstrak “ apa alasan kognitif dari kesulitan mereka ? Istilah “ generalisasi “ dan “ Abstraksi “ digunakan dalam matematika baik untuk menunjukkan proses-proses yang mana konsep-konsep diperlihatkan pada kontek yang lebih luas dan juga hasil dari proses-proses itu. Sebagai contoh, kita megenaralisasikan solusi dari persamaan linier dala 2 dan 3 dimensi sampai n dimensi dan kita mengabstraksi dari konten ini dari jarak ventor. Untuk melakukannya 2 objek penghitungan yang berbeda dihasilakn. Generalisasi Rn dan Abstraksi, jarak ventor V melalui medan F.
Ahli matematika sering menganggap suatu jarak vektor baik sebagai jarak abstraksi maupun generalisasi dari aspek 2 dimensi dan maka dari itu ini penting untuk menggunakan istilah-istilah itu dalam cara yang konsonan dengan penggunaan mereka dalam matematika. Tetapi pendidik matematika harus melihat proses kognitif yang dilibatkan dan disini kita melihat perbedaan tajam antara 2 contoh yang baru saja diberikan. Generalisasi Rn dengan mudah mempeluas pemikiran dari R1R2 R3 , dan seterusnya, yang digambarkan dengan mengaplikasikan proses-proses aritmatik biasa pada tiap koordinat. Abstraksi V adalah objek penghitungan yang sangat berbeda, yang didefinisikan dengan daftar aksioma-aksioma. Sedangkan yang tadi dengan mudah melibatkan sebuah perluasan dari proses yang sudah lazim. Yang kemudian membutuhkan pengaturan kembali penghitungan secara besar-besaran. Seperti Dregtus akan bicarakanlebih detil di chapter-chapter 2, proses dari pendefinisian jarak Vektor Abstrak harus diikutkan dengan dalil-dalil yang menurut perannya kesimpulan properti dari jarak vektornya ikut dari axioma-axioma secara konigtif ini tidak hanya proses penarikan kesimpulan tetapi sebuah proses konstruksi yang pelajar sedang membangun properti dari objek secara abstrak, misalnya, bahwa axioma menjamin properti “ biasa” dari penambahan vektor-vektor dan perkalian dengan skalar, yang secara linier independent sekumpulan vektor-vektor akan berisi kebanyakan jumlah yang sama dengan vektor-vektor sebagai kumpulan berjangka, bahwa suatu ajaran dengan kumpulan berjangka terbatas memiliki “ dimensi “ yang tepat diberikan yang berkenaan dengan sebuah kumpulan berjangka yang independen, atau “ basis”, dst. Dalam proses konstruksi ini pembuatan contoh-contoh dari jarak vektor ( misal R2,R3, dst ) berperan baik sebagai faktor konflik maupun pendukung, mereka mendukung karena mereka mengusulkan properti yang mungkin untuk dipegang, tetapi dilain pihak untuk membutuhkan suatu yang mungkin nampa” jelas dan sendirinya”. Dari contoh-contoh dan dari yang lain karena properti-properti biasa yang tajam sampai “ benar secara generalisasi “ untuk konsep abstrak selama periode ini ada konflik antara properti contoh-contoh yang pelajar ketahui, dan properti dari konsep abstrak yang baru yang ditarik kesimpulan dari pedefinisian suatu masa dari penyususnan kembali dan kosekwensi kebingungan tidak dapat dielakkan.

Pada Harel dan Tall (to appear), kita mengajukan bahwa perbedaan kognitif dibuat antara jenis-jenis yang berbeda dari generalisasi berkenaan dengan kegiatan-kegiatan yang kognitif dilibatkan. Kita mengatakan sebuah generalisasi yang luas memperluas struktur kognitif yang ada pada siswa tanpa membutuhkan rekonstruksi perubahan pada pemikiran sekarang ini. Pada sisi lain, generalisasi yang membutuhkan rekonstruksi dari struktur kognitif yang ada kita sebut sebagai “generalisasi rekonstruktif”. Pada teminologi ini kita tahu bahwa jarak vektor umum R* adalah,untuk kebanyakan siswa, sebuah generalisasi yang luas, jarak vektor abstrak adalah sebuah abstraksi dan generalisasi rekonstruktif.
Generalisasi yang lebih luas adalah teknik pengajaran yang baik untuk diambil ketika diperlukan untuk dapat berurusan dengan kelas yang lebih luas dari pengaplikasian tanpa harus mengalami terlalu banyak perubahan kognitif yang membuat stress. Misalnya, siswa yang dapat membawakan proses pemecahan persamaan linier bersama dalam 2 variable biasanya dapat menyamakan (secara luas) menjadi 3, 4, atau lebih variabel-variabel tanpa kesulitan (walaupun perhitungan-perhitungan mungkin menjadi membosankan). Malah yang terus terang secara relatif mendeskripsikan proses dalam waktu yang umum mengarah pada seperangkat persamaan yang khusus dalam, katakanlah, 3 variabel-variabel ; x,y,z (“kurangi perkalian-perkalian yang cocok dari persamaan pertama, kedua dan ketiga untuk menghilangkan x, kemudian hilangkan y dari hasil persamaan tersebut, cari z dan substitusikan kembali untuk mencari y, kemudian x”). Prosesnya lebih mudah dilihat dengan membuat solusi dari pada menggambarkannya. Tentu saja ada pengecualian-pengecualian (misalnya “apa yang dilakukan ketika persamaan pertama tidak ada x”), tetapi ini boleh juga diselesaikan dengan tingkat yang lebih khusus. Pada resiko pengakalan sebuah adjektif yang kita telah gunakan sebelumnya, kita akan menganggap tipe ini sebagai pendekatan yang luas juga umum, dengan perkiraan bahwa ini menggambarkan prosedur yang khas (umum) dengan mengarah pada suatu perkara khusus.

Dubinsky mendorong siswa-siswi untuk menulis program-program dalam bahasa komputer dimana banyak gagasan-gagasan, kumpulan-kumpulan atau pasangan-pasangan dered, hubungan-hubungan,fungsi-fungsi,dst dari pemikiran matematis yang sejajar. Dengan menulis kode komputer yang mengkhususkan prosedur untuk membawakan proses fungsi, memasukan suatu pengujian awal untuk melihat jika keadaan masukan yang mendefinisikan daerah fungsi memuaskan, siswa wajib untuk berpikir melalui pembuatan proses fungsi. Kegiatan pemograman adalah proses umum: ini membawa apa yang mungkin dilihat sebagai gagasan umum pada perkara-perkara yang khusus dan meningkatkan suatu abstraksi umum dari konsep fungsi. Dari teori yang baru saja digambarkan, ini mengusulkan tingkat yang lebih lanjut yang dibutuhkan untuk lewat dari contoh-contoh umum pemograman, dimana generalisasi itu dilihat dalam hal khusus dari fungsi-fungsi yang di programkan oleh siswa kepada abstraksi formal yang membutuhkan tingkatan baru dari definisi konstruksi abstraknya. Dubinsky merumuskan transisi ini dalam kerangka orang Piaget dari gambaran abstraksi yang mana proses-proses diringkas sebagai objek penghitungan. Teori ini diperinci lebih lagi di Bab 7 dan 15.

1.8 INTUISI DAN KETEPATAN LOGIKA( Intuition and Rigour)

Ahli matematika sering menganggap istilah “intuisi” dan “ketepatan logika” saling terpisah dengan mengusulkan bahwa suatu penjelasan bahwa “intuisi” perlu ketidaktepatan logika. Ini ada benarnya juga, karena biasanya intuisi datang secara keseluruhan dalam pikiran dan mungkin sulit untuk memisahkan bagian-bagiannya menjadi suatu perintah deduksi yang logis. Tetapi lawan antara 2 konsep tersebut adalah sebuah kesalahan pembagian yang kita akan bahas.
Kesimpulannya intuisi mutlak adalah hasil dari penggambaran konsep tiap-tiap individu.semakin terdidik individu itu dalam berpikir secara logis, perbandingan konsep indiviudu itu akan semakin besar kemungkinannya untuk menangkap dengan respon logika.
Ini akan jelas pada pertumbuhan berpikir siswa-siswi yang melalui intuisi awal, berdasar atas matematik mereka yang tidak begitu formal, akan menjadi intuisi formal yang lebih halus ketika pengalaman mereka bertumbuh.
Kita kemudian memiliki banyak macam intuisi ; pertama pertimbangan perkiraan dan imaginasi; kemudian generalisasi dengan induksi, yang mencetak mulai dari prosedur dari penelitian ilmu pengetahuan; sampai akhirnya kita mendapat intuisi dari angka-angka yang murni (poincare, 1913, p.215).
Dari sudut pandang psikologi, Fischbein(1978) sampai kepada kesimpulan-kesimpulan yang sama yang menunjukkan 2 jenis berbeda dari intuisi yaitu:
Intuisi primer mengarah kepada kepercayaan kognitif yang mengembangkan diri mereka sendiri pada kehidupan manusia, dengan cara alamiah, sebelum dan juga dengan independen dari instruksi sistematis.
Intuisi sekunder adalah apa yang dikembangkan sebagai hasil dari pelatihan kecerdasan sistematis dengan arti yang sama, Felix klein (1898) menggunakan istilah “intuisi yang lebih halus” dan F.severi menulis tentang “second degree intuition”(1951). (Fischbein, 1978.p.161)
Demikianlah aspek logika juga dapat diasah menjadi lebih “berdasarkan intuisi” dengan pemikiran matematis. Perkembangan dari intuisi logis yang lebih halus seharusnya menjadi satu dari tujuan utama dari pendidikan matematis lanjutan.

2. PERTUMBUHAN DARI PENGETAHUAN MATEMATIKA.
( The Growth of Mathematical Knowledge)
Sesuai dengan apa yang kita telah lihat, dasar dari pemikiran matematis tak memungkinkan untuk berhubungan dengan proses kognitif yang meningkatkan pengetahuan matematis. Kita sekarang fokus kepada lingkaran penuh dari pemikiran matematis untuk mengetahui bukti matematis sebagai tahap akhir dari proses perkembangan ini daripada hanya kerangka formal dari struktur pengetahuan yang lengkap.

2.1 JANGKAUAN PENUH DARI PEMIKIRAN MATEMATIKA LANJUTAN
(the Full Range of Advanced Mathematical Thinking)
Tetapi bukti matematis, menurut Hadamard(1945), adalah langkah ketepatan akhir dari pemikiran matematis. Sebelum sebuah dalil dapat di perkirakan, buktikanlah dulu, ada banyak pekerjaan dilakukan dalam pemahaman dari pemikiran apa yang akan bermanfaat dan hubungan apa yang akan berguna.
Hadamard mempertimbangkan penggambaran Poincare dari penelitian, kegiatan, dan catatan pribadinya.
Penelitian yang berlebih dari Poincare menunjukan pada kita 3 jenis pekerjaan intensif yang pada dasarnya berbeda jika dipertimbangkan dari pandangan kita, yaitu:
a) Pekerjaan yang sepenuhnya sadar
b) Penerangan pendahuluan oleh inkubasi
c) Proses yang sangat khas dari kurang tidur di malam hari (Hadamard 1945,p.35)

Disini Poincare memberikan kebutuhan suatu pekerja berat pada masalah yang baru, kemudian mengijinkan pemikiran itu untuk menetaskan dalam alam bawah sadarnya, selama waktu dimana dia kurang tidur di malam hari karena berpikir dengan keras untuk pemikiran yang baru sampai tiba-tiba beberapa waktu kemudian penerangan yang tiba-tiba meledak dalam kesadarannya secara solus. Setelah waktu selanjutnya telah lewat, pada waktu luangnya dia mampu menganalisa apa yang telah terjadi dan membangun dasar kebenaran yang formal dari teorinya pada langkah “ketepatan” akhir ketika hasil dari pemecahan terangnya adalah subjek dari analisis cahaya /hari yang dingin,dia memperhalus asumsi-asumsi sehingga pengambilan kesimpulan akan tahan terhadap penelitian analisis yang cermat.

Apa yang menjadi kenyataan adalah langkah-langkah awal dari lingkaran kekreatifan yang mungkin sebagian bergantung pada logika dan deduksi. Tetapi mereka juga butuh aktivitas penghitungan secara fleksibel untuk menghasilkan gema penghitungan antara konsep yang tak berhubungan sebelumnya. Menurut model aktifitas otak Gazzigna, ini mungkin juga terjadi sebagai penjajaran dari modul yang berbeda-beda dalam proses otak yang terjadi secara serempak. Bagian dari langkah sukses dari pemikiran matematis nampaknya harus dikerjakan cukup keras untuk mengatasi masalah dan mendorong aktifitas penghitungan yang kemudian melepaskan proses itu dan meneruskannya secara tak sadar.

2.2 MEMBANGUN DAN MENGUJI TEORI SINTETIS DAN ANALISIS
( Building and testing Theories : synthesis and anallysis)
Poincare berusaha untuk menunjukkan peranan tambahan sintesis dari analisis pemikiran matematis. Sintesis mulai dengan perbuatan sadar akan langkah awal untuk memulai meletakkan pemikiran bersama-sama, diikuti dengan aktivitas yang lebih intuitif, yang mana saling mempengaruhi secara tak sadar antara gambaran konsep yang berperan. Sampai gema kekuatan yang dahsyat baru menghubungkan konsep dengan ledakan dalam kesadaran yang sekali lagi adalah analisis, disisi lain jauh lebih tenang dan aktifitas logis yang secara sadar mengatur pemikiran baru ke dalam bentuk logika dan memperhalusnya untuk memberikan ketepatan dalam pernyataan dan dedukasi.
Pengajaran kepada anak-anak muda menekankan sintesis pengetahuan dimulai dari konsep sederhana, yang dibangun dari pengalaman dan contoh-contoh untuk menjadi konsep yang lebih umum. Penekanan pada tingkat sekarang ini sedang berubah dengan memasukkan lebih banyak pemecahan masalah dan penyelidikan yang tak terbatas.
Mengajar di universitas lebih sering memberi penekanan yang sangat bertentangan : analisis pengetahuan, dimulai dengan abstraksi secara umum dan membentuk rantai deduksi darinya yang mungkin akan diaplikasikan dalam konteks khusus yang bervariasi luas.
Bekerja dengan kebanyakan anak-anak muda, Dienes(1960) mengajukan sebuah teori untuk membangun konsep dari contoh-contoh konkret, juga Dienes dan Joenes (1960) merumuskan prinsip yang sangat mendalam secara umum yang lebih jauh lagi yang mana “ ada pilihan untuk perhitungan dengan langkah-langkah dan interpolasi, dari pada selalu bertahap”. Mereka menanggapi pertanyaan mereka sendiri “kapan generalisasi dari perkara sederhana menjadi lebih umum mungkin terjadi dan kapan ini lebih baik bagi mereka untuk mengkhususkan dari perkara yang lebih rumit menjadi lebih sederhana?” dengan penyataan bahwa “ini tidaklah mungkin untuk dijawab dengan pernyataan positif ataupun negatif yang sederhana”. Mereka menyarankan bahwa hal yang lebih pantas ditanyakan adalah “Tingkat optimal dari kerumitan yang dibutuhkan untuk permulaan” tanggapan yang hanya tepat untuk pengajaran dan pembelajaran pada tingkat-tingkat yang lebih lanjut. Mungkin membutuhkan sintesis dari pengetahuan untuk membangun teori secara kognitif sebaik analisis pengetahuan untuk memberikan keseluruhan struktur dalam hubungan logika.

2.3 PEMBUKTIAN MATEMATIKA ( Mathematical Proof)

Diperlihatkan sebagai kegiatan pemecahan masalah, kita mendapatkan bahwa pembuktian sebenarnya adalah langkah terakhir dari kegiatan yang mana ide dibuat tepat. Juga pada kebanyakan pengajaran matematika di tingkat universitas memulai dengan pembuktian. Dalam kata pengantarnya yang berjudul “ The Psychology at learning mathematics” (“psikologi pangajaran matematika”)Skemp dengan ringkas berkenaan dengan ini menunjukkan pada murid - murid hasil dari pemikiran matematika, dari pada mengajari mereka proses berpikir matematika. Koyakan yang baik sekali dari Baurbaki ini adalah monumen pemikiran matematik yang intelek. Dan mungkin digunakan untuk membantu pelajar menghargai struktur formal dari matematika. Tetapi sekali lagi Poincare mempunyai pengamatan sesuai untuk dibuat.
Cara mengerti demonstrasi dari dalil, adalah dengan meneliti dengan berturut turut tiap- tiap silogisme yang menyusunnya dan memastikan kebenarannya, cocokah dengan peraturan dari permainan? untuk beberapa orang akan menjawab ya, ketika mereka telah menyeleaikan ini, mereka akan berkata : saya mengerti. Tidak untuk mayoritas orang , hampir semua orang lebih sukar lagi, mereka berharap untuk tidak hanya tahu apakah semua silogisme dari demonstrasi itu adalah benar, tetapi mengapa mereka disangkutpautkan bersama – sama disini dari pada yang lain. Sejauh ini, nampaknya disebabkan oleh perubahan pikiran dengan tiba – tiba dan bukan oleh kecerdasan untuk selalu sadar akan keaktifan yang dicapai, mereka percaya bahwa mereka mengerti. ( poincare. 1913.p.431)
Mungkin anda berpikir saya menggunakan terlalu banyak perbandingan-perbandingan dan juga masih yang lain. Anda ragu menjumpai perkumpulan orang – orang yang sulit membentuk kerangka dari bunga karang yang khusus. Ketika bagian dari masalah telah menghilang, hanya ada tersisa penyusuran yang luwes dan lemah. Benar tidak ada apapun disana kecuali silica, tetapi apa yang menarik adalah bentuk dimana silica ini telah diambil, dan kita tidak dapat mengerti akan hal ini jika kita tidak tahu kehidupan bunga karang yang telah memberinya dengan tepat bentuk ini. Demikian ini adalah pikiran – pikiran berdasarkan intuisi yang lama dari ayah kita, bahkan ketika kita telah membuangnya, masih juga tertanam bentuk mereka tentang kontruksi logika yang telah kita tempatkan. (ibid,p.219)
Demikian ini adalah tuntutan ahli matematika yang begitu banyak sehingga pembuktian tidak hanya logis, tetapi bahwa seharusnya ada beberapa prinsip yang menolak menjelaskan mengapa pembuktian itu bekerja. Pembuktian dari empat macam dalil, oleh kepayahan dari semua konfigurasi yang mungkin menggunakan pencarian dengan komputer (apple & haken, 1976) berusaha nampak logis, masih banyak ahli matematika yang professional, meskipun dengan giat bekerja untuk melihat bukti dalil sekali dan untuk semua, sedemikian ragu –ragu, bahwa mungkin ada beberapa kekurangan yang halus dalam “pembuktian” komputer karena nampaknya tidak ada sebab untuk menjelaskan mengapa seperti ini.
Prinsip ini masih tidak selalu di ceritakan ke siswa. Sawyer (1982) melaporkan bagaimana dia mencoba untuk mengajar dalil – dalil analisis fungsional dengan mengarah kembali kepada dalil – dalil pada variable yang nyata yang dia harapkan murid – muridnya tahu, hanya untuk mencari bahwa mereka tidak mmpunyai ingatan tentangnya.
Alasan untuk ini adalah pada kuliah mereka di universitas mereka telah diberi kuliah yang formal yang belum menyampaikan arti dari intuisi ; mereka telah lulus dari ujian mereka dengan revisi dan hapalan pada menit – menit terakhir.
Dia menyatakan betapa kagetnya dia mempelajari dosen yang menjadi terdiam di tengah – tengah dari pembuktian, mengembalikan dia kembali ke kelas untuk membuat gambar untuk menolongnya, kemudian menghapusnya dan meneruskan dengan pembuktian secara formal tanpa menguranginya di kelas bagaimana dia telah menggunakan intuisinya untuk membangunnya kembali.
Dia mengamati :
- Untuk mengajar kalkulus dengan baik adalah tugas yang sangat banyak persyaratannya 3 hal harus dilakukan : Pertama menunjukkan dengan sebuah gambaran yang beberapa hasilnya sangat masuk akal, Kedua memberikan contoh - contoh perbandingan yang mengindikasikan keadaan yang mana suatu dugaan akan gagal, Ketiga menggali dari pertimbangan – pertimbangan ini hasil dari pembuktian secara formal.
Perkataan ini tidak hanya diaplikasikan ke perkuliahan dan buku - buku untuk sarjana. Felix klein menjelaskan bahwa pada karangan untuk jurnal penelitian pendidikan, pertimbangan intuisi adalah hal biasa dan merupakan praktek yang sangat tak diinginkan.
Banyak ahli matematika telah mempelajari bagaimana menghadirkan wajah terbaik mereka di depan umum, menunjukan pemikiran – pemikiran mereka dalam bahasa yang halus dan kerja keras yang tersembunyi dan penyusunan – penyusunan yang salah mengatasi pertumbuhan mereka. Maka dari itu ini mendasari untuk mengajukan pertanyaan
Berikut :

Bagaimana mungkin menghadapkan murid – murid kepada pandangan yang lebih luas dari pemikiran matematik dasar yang memasukan pertumbuhan pemikiran matematik yang sukar dalam cara yang tepat untuk pelajar?

3. DESAIN KURIKULUM DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA LANJUTAN ( Curriculum Design in advanced mathematical learning)

3.1. MERUNTUTKAN PENGALAMAN PEMBELAJARAN. ( Sequencing the learning experience)

Selama perpindahan yang sukar dari matematika yang tidak begitu formal ke pemahaman proses matematika yang lebih formal, ada kebutuhan sejati untuk membantu siswa dalam menambah wawasan tentang apa yang sedang terjadi. Logika ahli matematika mungkin membuat dia gagal dalam merancang jadwal pengajaran. Seorang ahli matematika sering mengambil pemikiran matematika yang rumit dan “ menyederhanakannya dengan cara memecah menjadi bagian-bagian yang lebih kecil kemudian siap mengerjakan tiap komponen dengan runtutan yang logis. Dari sudut pandang ahli, komponen-komponen itu mungkin terlihat sebagai bagian dari keseluruhan. Tetapi mungkin bagi siswa potongan- potongan ini terlihat seperti yang dipresentasikan oleh mereka dalam isolasi, seperti potongan- potongan terpisah dari puzzle yang mana tidak ada gambar yang ada secara utuh. Sebenarnya skenario itu mungkin lebih buruk ketika siswa menghadapi tiap potongan dari puzzle dan mengkondisikan konsep penggambaran pribadi dari keadaan khusus yang bisa jadi berbeda dengan pemikiran formal. Jadi bukan hanya tidak ada gambar yang tersedia untuk puzzle itu, tapi potongan – potongan itu sendiri sekarang mungkin memiliki bentuk yang berbeda- beda sehingga mereka tidak lagi pas.
Contoh sebuah analisa matematika dari pemikiran fungsi f(x) membutuhkan pemikiran limit dari ( f(x+h)-f(x))/h, dengan h berharga 0 sehingga secara matematika fungsi tersebut harus didahulukan dengan diskusi dari pemikiran limit untuk membuat proses matematika lebih mudah pehitungan limit tersebut menggunakan x tertentu, hanya pada tahap berikutnyalah diijinkan merubah-rubah nilai x untuk memberikan hasil dari fungsi. Jadi runtutan yang disarankan oleh analisa matematik secara formal adalah:
1. Pemikiran suatu limit
2. Untuk menentukan x, dengan menghitung limit dari (f(x+h)-f(x)) / h, dengan h bernilai nol.
3. Masukkan limit f(x), kemudian ubah-ubah nilai x untuk menghasilkan fungsi
Namun ketika pengajar ada pada tahap (1), pemikiran limit misterius karena nampaknya ini “mengambang” tanpa alasan yang nyata. Telah ada rintangan yang kognitif disini, seperti yang diteliti oleh Cornn (1983) dan yang lainnya. Pada tahap (2), proses limit menghasilkan rintangan-rintangan lebih lanjut (Tail & Vinner 1981) yang akan didiskusikan lebih detail pada Bab 10.Nor. Jalur dari langkah (2) ke langkah (3) secara matematis semudah secara kognitif banyak siswa melihat langkah (2) seperti aktifitas simbolik belaka, dan tidak melihat f’(x) sebagai fungsi, dengan sebuah grafik yang mana grafik dari f(x) tinggi (Tall,1989)
Oleh karena itu masalah perkembangan kurikulum adalah untuk menunjukkan murid dengan konteks yang mana pertumbuhan kognitif dapat terjadi, menuntun yang pada akhirnya ke pengertian pemikiran matematis dimana keformalan berperan sebagai bagian yang tepat.
Secara analisis misalnya satu metode yang telah dibuktikan dengan sukses dapat melibatkan lebih banyak pendekatan fleksibel yang menambahi pendekatan numerik dan aljabarik kepada fungsi dengan luas, apresiasi visual dari grafik yang tinggi yang dihasilkan pada komputer.
Secara umum adalah mungkin untuk menggunakan tenaga tambahan dari visualisasi untuk memberikan hasil yang luas dari konsep matematis, untuk menunjukkan kekuatan-kekuatan dan kelemahan-kelemahan yang dimilikinya maupun bukan, dalam langkah yang membuatnya perlu secara logis untuk merumuskan teori itu secara jelas. Pemikiran-pemikiran dari pandangan tanpa hubungan dengan proses yang runtut dari perhitungan pembuktian adalah wawasan-wawasan yang kurang memenuhi secara matematis. Di lain pihak, runtutan proses secara logika tanpa pandangan dari gambaran yang utuh adalah terbatas dan berkelip. Maka dari itu, ini adalah tujuan yang berharga untuk dicari. Interaksi yang bermanfaat dari ini sangatlah berbeda cara berpikirnya.
PEMECAHAN MASALAH ( Problem Solving)

Untuk kebanyakan sarjana, pemecahan masalah berarti mempelajari isi dari satu set catatan perkuliahan dan mengaplikasikan pengetahuan ini kepada masalah yang khusus dengan jelas berhubungan dengan pengajaran utama. Untuk penelitian ahli matematika, pemecahan masalah adalah kegiatan yang lebih kreatif, yang memasukkan perumusan dari dugaan-dugaan yang mungkin, suatu runtutan dari aktivitas-aktivitas pengujian, memodifikasi dan pengilangan sampai memungkinkan untuk menghasilkan pembuktian yang formal dari dalil yang dispesifikasikan dengan baik.
Polya (1945) mengusulkan 4 tahap sebagai kerangka untuk pemecahan masalah:
 Pahami masalahnya
 Buat sebuah rencana
 Melaksanakan rencana itu
 Lihat kembali pekerjaannya
Kerangka ini telah menjadi tulang punggung dari banyak usaha-usaha berikutnya pada strategi perumusan masalah , pemikiran Mason et al (1982) dan Schoenfeld(1985) telah mengetahui kebutuhan pembuatan neuristik yang sebenarnya yang lebih tegas dan cepat untuk pelajar. Pemikiran dari “Buat sebuah rencana” benar-benar menakutkan (berat)untuk pemula. Lebih tegas lagi adalah versi yang diusulkan oleh Mason, yang mengajukan 3 tahap:
o Masuk
o Pecahkan
o Meninjau
Tahap Masuk menutupi 2 tahap pertama dari Polya,Sementara, Pecahkan dan Meninjau sesuai dengan tahap ketiga dan keempat Polya.
Pada tahap ‘Masuk’ potensi pemecah masalah -yang dikenal dengan konteks pemecahan masalah - mendapatkan pengertian dari masalah dengan memainkan pikiran-pikiran, yang mungkin lewat spesialisasi yang sederhana, pindah ke posisi dimana usaha-usaha untuk menetapkan dengan jelas apa yang diketahui dan diinginkan, dan mempertimbangkan dengan hati-hati apa yang dapat diperkenalkan (notasi, prosedur solusi,dll) yang mungkin menjadikan pemecah masalah dari apa yang diketahui menjadi apa yang diinginkan. Kemudian perubahan yang kualitatif terjadi dengan melakukan pemecahan terhadap masalah menggunakan pemikiran yang telah diperkenalkan. Mungkin ini berhasil, tetapi lebih seringnya ini dapat menuju kebutuhan, sebuah jalan buntu yang mana individu saharusnya meninjau apa yang telah dilakukan dan kembali ke langkah Masuk, untuk mempertimbangkan pemecahan baru. Sesekali beberapa solusi semacam ini dicapai dengan perubahan suasana hati masih lagi untuk suatu tinjauan seadanya – pemeriksaan hasil-hasil untuk menyakinkan tidak ada kesalahan telah dibuat, Meninjau apa yang telah dilakukan untuk mempelajari strategi yang mungkin terbukti berguna pada saat yang lain dan kemudian sedang dipersiapkan untuk memperluas masalah kepada tingkatan-tingkatan yang baru dari pengalaman, yang memulai kembali lingkaran masukan pada tingkat yang lebih rumit.
Penulis telah memiliki beberapa tahun pengalaman dalam mengajar memecahkan masalah dalam kerangka ini. Ini telah terbukti dapat meraih sarjana untuk mengembangkan cara yang asli dari pemecahan masalah walaupun proses pada periode awal yang lebih lama bagi siswa untuk meraih poin wawasan mungkin nyata ketika memberikan informasi di perkuliahan. Namun, cara ini dapat merangsang pemikiran reflektif dan mengembangkan pengawasan mendalam antara pemikiran siswa untuk mengerti kemajuan dan ketepatan arah dari proses mencari solusi.


PEMBUKTIAN ( Proof)

Siswa-siswi yang memulai dalam matematika lebih lanjut mendapat kesulitan terbesar dalam pembuktian sebelum mereka mencapai kebiasaan dengan pekerjaan dari budaya matematis ini. Pada daftar pertanyaan penyelidikan yang lebih jelas membuktikan bilangan irrasional 2, siswa-siswi lebih suka pembuktian yang menunjukan bahwa kuadrat dari bilangan rasional apapun harus bilangan utuh dari faktor utama, dan maka dari itu bilangan kuadrat tersebut bukan 2 karena bilangan utama 2 menghasilkan bilangan yang tak habis dibagi. Mereka lebih menyukai ini dari pada bukti standar oleh kontradiksi dan demonstrasi yang lebih umum yang diambil dari Hardy’s Pure Mathematics. Walaupun fakta bahwa “pembuktian” bukanlah pembuktian secara formal saja, tetapi penjelasan yang menyimpang dengan contoh-contoh mendemonstrasikan bentuk apa yang diambil oleh pengkuadratan dari bilangan rasional yang khas(Tall,1979). Sekali lagi kita tahu bahwa sebuah bukti yang umum: menjelaskan konsep umum dengan mempertimbangkan contoh-contoh yang khas, adalah langkah pertama yang lebih mudah dimengerti dari pada rekonstruksi kepada formalisme.
Tentu ini asli dalam matematika lebih lanjut untuk mengambil langkah dari penjelasan (umum) kepada pembuktian formal. Beberapa pengajar, seperti Leron (1983ab,1985ab), memperlihatkan peran mereka ketika membuat struktur dari bukti yang lebih berarti kepada siswa-siswi. Metodenya, secara dasar, untuk menstruktur bukti dengan tepat, sehingga jelas apa yang sedang terjadi pada waktu yang diberikan, dan untuk membuat bukti itu sesegera mungkin. Kontradiksi bukti yang demikian di tulis kembali sehingga mereka tepat dan konstruktif dari awal, dengan kontruksi apapun yang sedang di perkenalkan selambat dan dapat dipraktekkan dalam pembuktian.
Yang lain melihat kewajiban mereka seperti peranan yang lebih luas dari mengenalkan siswa-siswi kepada jangkauan yang penuh dari pemikiran matematis, termasuk perkiraan, verifikasi positif lewat pendapat yang diyakinkan atau sangkalan dari contoh banding. Dengan cara demikianlah sekolah Greroble (Legard et al,1984,1988; Albert,1981) telah mengenalkan “scientific science”(“debat ilmu pengetahuan”)di fakultas-fakultas mereka, Dimana penontonnya penuh dengan mahasiswa yang diundang dan dikelompokkan bersama – sama untuk mencari pikiran seperti halnya dalil yang pada topik matematis sedang dipertimbangkan, dan kemudian berusaha membuktikan atau menyangkalnya. Ini penting sehingga pengajar tidak berkomentar tentang kebenaran atau kesalahan dugaan-dugaan pada tahap awal, dan sehingga siswa – siswi dihadapkan secara murni dengan tugas untuk menyakinkan teman sebaya mereka tentang kebenaran pendapat - pendapat mereka

3.4 PERBEDAAN ANTARA PEMIKIRAN MATEMATIS DASAR DAN LANJUTAN ( Differences Between Elementary and advenced Mathematical Thinking)

Suatu yang ironis mengetahui bahwa kurikulum nasional di UK dan standar NCTM di USA untuk sekolah jurusan matematika menganjurkan suatu tingkat pemecahan masalah yang tak terbatas yang ditetapkan dengan aneh pada pembelajaran tingkat sarjana di universitas – universitas. Tata cara pemecahan masalah dari Masuk, Pemecahan , dan Meninjau dapat dan sedang di tampilkan oleh anak – anak muda pada penyelidikan matematis semacam ini. Demikian banyak dari proses pemikiran matematis lanjutan telah ditemukan lebih banyak pada tingkat dasar. Namun, Mason et al(1982) menggambarkan verifikasi dalam “ Thinking Mathematically” pada 3 tingkatan :
- yakinkan dirimu sendiri
- yakinkan teman
- yakinkan musuh
menyakinkan diri sendiri melibatkan pemikiran mengapa beberapa pernyataan mungkin benar, tetapi menyakinkan teman membutuhkan pendapat – pendapat yang diatur dalam cara yang lebih koferen. Menyakinkan musuh berarti bahwa pendapat itu harus dianalisis dan disuling sehingga ini akan terhadap ujian kecaman. Ini adalah yang mendekatkan “ Thinking Mathematically” kepada perkiraan pembuktian. Apa yang secara keseluruhan dihadirkan adalah perkiraan dari definisi formal dan pengambilan kesimpulan formal yang logis dari definisi tersebut .
Mungkin ini dihipotesa bahwa pemikiran matematis pada semua tingkat dapat termasuk dalam langkah – langkah Masuk, Pemecahan dan Meninjau yang termasuk tingkat dari pembenaran matematis, tetapi pernyataan bahwa pemikiran matematika dasar kekurangan proses dari abstraksi formal dan tidak memasukkan “Ketepatan Langkah” akhir kedalamnya adalah suatu kesamaran formal
Perpindahan dari pemikiran matematika tingkat dasar ke lanjutan melibatkan transisi yang berarti : dari “menggambarkan “ menjadi “ menegaskan”, dan “ menyakinkan “ menjadi “ membuktikan “ dalam cara logis berdasarkan atas definisi tersebut. Perpindahan ini membutuhkan rekontruksi yang kognitif yang di perlihatkan selama mahasiswa universitas yang awalnya berjuang dengan abstraksi formal ketika mereka mengerjakan tahun-tahun pertama di universitas. Ini adalah perpindahan dari “ hubungan “ dari matematika dasar kepada “ konsekuensi “ dari matematika lanjutan, berdasar atas sesuatu yang sungguh-sungguh ada yang mana setiap individu harus bangun melalui pengambilan kesimpulan dari penggambaran formal.